Контрольная работа 2 вариант 1. Найдите общий вид первообразных 2 1 a) f(x) = x²- ; 6) f(x)= -3sin6x. x cos² x 2. Для функции f(x) = 5+2x-6x², найдите первообразную, график которой проходит через точку А(-1;4). 3. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке YA y=x²-2x+2 2 1+ F 1 2 4. Вычислите интегралы: 3 π/6 a) dx 6) (0,5x+1)dx; 3) sin3xdx. x [0 -2 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х² и у = 2 - x. 6. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от -1 до 12 =4, если зависимость скорости тела и от времени описывается уравнением v(x) = 3t2-2t (t- в секундах, v - в м/с).

• Первообразная от \( x^3 \) это \( \frac{x^4}{4} \)
• Первообразная от \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) это \( 2\sqrt{x} \), значит, от \( -\frac{2}{\sqrt{x}} \) это \( -4\sqrt{x} \)

Общий вид первообразной: \( F(x) = \frac{x^4}{4} - 4\sqrt{x} + C \)

• Первообразная от \( \frac{1}{\cos^2 x} \) это \( \tan x \)
• Первообразная от \( \sin 6x \) это \( -\frac{1}{6}\cos 6x \), значит, от \( -3\sin 6x \) это \( \frac{1}{2} \cos 6x \)

Общий вид первообразной: \( F(x) = \tan x + \frac{1}{2} \cos 6x + C \)

• Первообразная от \( f(x) \) это \( F(x) = 5x + x^2 - 2x^3 + C \)
• Подставим координаты точки \( A(-1; 4) \) в \( F(x) \), чтобы найти \( C \):
• \( 4 = 5(-1) + (-1)^2 - 2(-1)^3 + C \)
• \( 4 = -5 + 1 + 2 + C \)
• \( C = 6 \)

Первообразная: \( F(x) = 5x + x^2 - 2x^3 + 6 \)

Площадь фигуры \( F \) равна интегралу от \( 1 \) до \( 2 \) функции \( y = x^2 - 2x + 2 \)

• \( \int_1^2 (x^2 - 2x + 2) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x]_1^2 \)
• \( = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} + 1 - 2 + 1 \)
• \( = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} \)

Площадь фигуры: \( \frac{4}{3} \)

• \( \int_1^2 \frac{3}{x} dx = 3 \int_1^2 \frac{1}{x} dx = 3[\ln x]_1^2 \)
• \( = 3(\ln 2 - \ln 1) = 3 \ln 2 \)

• \( \int_{-2}^0 (0.5x + 1)^5 dx = \frac{1}{0.5} \cdot \frac{(0.5x + 1)^6}{6} |_{-2}^0 \)
• \( = 2 \cdot \frac{(0.5 \cdot 0 + 1)^6 - (0.5 \cdot (-2) + 1)^6}{6} \)
• \( = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3} \)

• \( \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin 3x dx = -\frac{1}{3} \cos 3x |_0^{\frac{\pi}{6}} \)
• \( = -\frac{1}{3} (\cos \frac{\pi}{2} - \cos 0) = -\frac{1}{3} (0 - 1) = \frac{1}{3} \)

• Найдем точки пересечения: \( 4 - x^2 = 2 - x \)
• \( x^2 - x - 2 = 0 \)
• \( x_1 = -1, x_2 = 2 \)
• Площадь: \( \int_{-1}^2 (4 - x^2 - (2 - x)) dx = \int_{-1}^2 (2 + x - x^2) dx \)
• \( = [2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-1}^2 \)
• \( = (4 + 2 - \frac{8}{3}) - (-2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 6 - \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)
• \( = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \)

Площадь фигуры: \( \frac{9}{2} \)

Путь равен интегралу от скорости по времени:

• \( s = \int_{1}^{4} (3t^2 - 2t) dt = [t^3 - t^2]_{1}^{4} \)
• \( = (4^3 - 4^2) - (1^3 - 1^2) = (64 - 16) - (1 - 1) = 48 \)

Путь, пройденный точкой: 48 м