Контрольная работа 2 вариант 1. В прямоугольной системе координат постройте век- торы п{3; 0}; m {4; -1}; {0; -3}; {-2; -2}; {3;5}. 2. Найдите координаты векторов m + n, m - n, 3m - 2п, если т{3; -5}; п{2; 3}. 3. Даны точки М (-2; -4), P (4; 4), K (-1; 3). Найдите: 1) координаты векторов МК и РМ; 2) модули векторов МК и РМ; 3) координаты вектора EF = 2MK - 3PM; 4) скалярное произведение векторов МК и РМ; 5) косинус угла между векторами МК и РМ. 4. Даны точки А (6; 2) и В(-4; 5). Найдите координаты точек С и D, если известно, что точка В – середина отрезка АС, а точка D - середина отрезка ВС. 5. Определите вид треугольника АВС, если его вершины имеют координаты А (0; 1), B (1; -4), C (5; 2).

Задание 1

В прямоугольной системе координат нужно построить векторы \[ \vec{n}{3; 0}, \vec{m}{4; -1}, \vec{c}{0; -3}, \vec{d}{-2; -2}, \vec{e}{3;5} \]

К сожалению, я не могу построить векторы, так как я всего лишь текстовая модель. Но ты можешь сделать это самостоятельно, используя заданные координаты.

Задание 2

Даны векторы \[ \vec{m}{3; -5}, \vec{n}{2; 3} \]. Нужно найти координаты векторов \[ \vec{m} + \vec{n}, \vec{m} - \vec{n}, 3\vec{m} - 2\vec{n} \]

Сначала найдем \[ \vec{m} + \vec{n} \]:

\[ \vec{m} + \vec{n} = {3 + 2; -5 + 3} = {5; -2} \]

Теперь найдем \[ \vec{m} - \vec{n} \]:

\[ \vec{m} - \vec{n} = {3 - 2; -5 - 3} = {1; -8} \]

И, наконец, найдем \[ 3\vec{m} - 2\vec{n} \]:

\[ 3\vec{m} - 2\vec{n} = {3 \cdot 3 - 2 \cdot 2; 3 \cdot (-5) - 2 \cdot 3} = {9 - 4; -15 - 6} = {5; -21} \]

Ответ: \[ \vec{m} + \vec{n} = {5; -2}, \vec{m} - \vec{n} = {1; -8}, 3\vec{m} - 2\vec{n} = {5; -21} \]

Задание 3

Даны точки M(-2; -4), P(4; 4), K(-1; 3). Нужно найти:

1. Координаты векторов \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \];
2. Модули векторов \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \];
3. Координаты вектора \[ \vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM} \];
4. Скалярное произведение векторов \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \];
5. Косинус угла между векторами \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \].

1) Координаты векторов \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \]

\[ \vec{MK} = {-1 - (-2); 3 - (-4)} = {1; 7} \]

\[ \vec{PM} = {-2 - 4; -4 - 4} = {-6; -8} \]

2) Модули векторов \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \]

\[ |\vec{MK}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

\[ |\vec{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

3) Координаты вектора \[ \vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM} \]

\[ 2\vec{MK} = {2 \cdot 1; 2 \cdot 7} = {2; 14} \]

\[ 3\vec{PM} = {3 \cdot (-6); 3 \cdot (-8)} = {-18; -24} \]

\[ \vec{EF} = {2 - (-18); 14 - (-24)} = {20; 38} \]

4) Скалярное произведение векторов \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \]

\[ \vec{MK} \cdot \vec{PM} = 1 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8) = -6 - 56 = -62 \]

5) Косинус угла между векторами \[ \vec{MK} \] и \[ \vec{PM} \]

\[ \cos(\angle(\vec{MK}, \vec{PM})) = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{PM}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = -\frac{31\sqrt{2}}{50} \]

Ответ:

1. \[ \vec{MK} = {1; 7}, \vec{PM} = {-6; -8} \]
2. \[ |\vec{MK}| = 5\sqrt{2}, |\vec{PM}| = 10 \]
3. \[ \vec{EF} = {20; 38} \]
4. \[ \vec{MK} \cdot \vec{PM} = -62 \]
5. \[ \cos(\angle(\vec{MK}, \vec{PM})) = -\frac{31\sqrt{2}}{50} \]

Задание 4

Даны точки A(6; 2) и B(-4; 5). Нужно найти координаты точек C и D, если известно, что точка B – середина отрезка AC, а точка D – середина отрезка BC.

Пусть координаты точки C(x; y). Так как B – середина AC, то:

\[ -4 = \frac{6 + x}{2} \]

\[ -8 = 6 + x \]

\[ x = -14 \]

\[ 5 = \frac{2 + y}{2} \]

\[ 10 = 2 + y \]

\[ y = 8 \]

Значит, координаты точки C(-14; 8).

Теперь найдем координаты точки D, середины BC:

\[ x_D = \frac{-4 + (-14)}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

\[ y_D = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \]

Значит, координаты точки D(-9; 6.5).

Ответ: C(-14; 8), D(-9; 6.5)

Задание 5

Определите вид треугольника ABC, если его вершины имеют координаты A(0; 1), B(1; -4), C(5; 2).

Найдем длины сторон треугольника:

\[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \]

\[ BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

\[ AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]

Так как AB = AC, то треугольник ABC – равнобедренный.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора:

\[ AB^2 + AC^2 = 26 + 26 = 52 = BC^2 \]

Так как выполняется равенство \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \], то треугольник ABC – прямоугольный.

Ответ: Треугольник ABC – равнобедренный и прямоугольный.

Ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и все обязательно получится!