Контрольная работа «Векторы» Вариант 2 1. Найдите координаты и длину вектора а, если а=1/3m-n, m(-3;6), B(2;-2). 2. На стороне СК квадрата АВСК лежит точка Р так, что СР-РК, О точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы а-ВА и С=ВС. 3. Даны координаты вершин четырёхугольника АВСМ: А(-6,1), B(0;5), C(6;-4); M(0;-8) а) Докажите, что АВСМ прямоугольник. б) Найдите координаты точки пересечения его диагоналей. 4. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60 градусов, боковая сторона равна 8 см, меньшее основание -7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 5. Найдите координаты точки А, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек В(-2;-3) и С(4; 1).

Задание 1

Давай найдем координаты и длину вектора \[ \vec{a} \], если \[ \vec{a} = \frac{1}{3}\vec{m} - \vec{n} \], где \[ \vec{m}(-3; 6) \] и \[ \vec{n}(2; -2) \].

Сначала найдем координаты вектора \[ \frac{1}{3}\vec{m} \]. Для этого умножим каждую координату вектора \[ \vec{m} \] на \[ \frac{1}{3} \]:

\[ \frac{1}{3}\vec{m} = \frac{1}{3}(-3; 6) = (-1; 2) \]

Теперь вычтем вектор \[ \vec{n} \] из вектора \[ \frac{1}{3}\vec{m} \]:

\[ \vec{a} = \frac{1}{3}\vec{m} - \vec{n} = (-1; 2) - (2; -2) = (-1 - 2; 2 - (-2)) = (-3; 4) \]

Итак, координаты вектора \[ \vec{a} \] равны \[ (-3; 4) \].

Далее найдем длину вектора \[ \vec{a} \]. Длина вектора вычисляется по формуле:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Подставим координаты вектора \[ \vec{a} \]:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Таким образом, длина вектора \[ \vec{a} \] равна 5.

Ответ: Координаты вектора \[ \vec{a}(-3; 4) \], длина вектора \[ |\vec{a}| = 5 \].

Задание 2

На стороне СК квадрата АВСК лежит точка Р так, что СР=РК, О - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \[ \vec{BO} \], \[ \vec{BP} \], \[ \vec{PA} \] через векторы \[ \vec{a} = \vec{BA} \] и \[ \vec{c} = \vec{BC} \].

В квадрате диагонали равны, в точке пересечения делятся пополам, диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

Выразим вектор \[ \vec{BO} \]. Т.к. O - середина диагонали BD, то\[ \vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD} \]. Вектор \[ \vec{BD} \] можно представить как сумму векторов \[ \vec{BA} \] и \[ \vec{BC} \]:

\[ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{c} \]

Тогда \[ \vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} \]

Теперь выразим вектор \[ \vec{BP} \]. Точка P лежит на стороне CK квадрата ABCK, причем CP = PK. Так как CK = BC, то \[ \vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{BC} \], т.е. \[ \vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{c} \]. Тогда \[ \vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{c} - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{c} \]

Выразим вектор \[ \vec{PA} \]. \[ \vec{PA} = \vec{PC} + \vec{CA} \] Так как \[ \vec{PC} = -\vec{CP} \], то \[ \vec{PC} = -\frac{1}{2}\vec{c} \]. Вектор \[ \vec{CA} = -(\vec{a} + \vec{c}) \] (т.к. \[ \vec{CA} = -\vec{AC} \] и \[ \vec{AC} = \vec{a} + \vec{c} \]). Тогда

\[ \vec{PA} = -\frac{1}{2}\vec{c} - (\vec{a} + \vec{c}) = -\vec{a} - \frac{3}{2}\vec{c} \]

Ответ: \[ \vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} \], \[ \vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{c} \], \[ \vec{PA} = -\vec{a} - \frac{3}{2}\vec{c} \].

Задание 3

Даны координаты вершин четырехугольника ABCM: A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), M(0;-8).

a) Докажите, что ABCM – прямоугольник.

б) Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

a) Чтобы доказать, что ABCM — прямоугольник, нужно показать, что его стороны попарно параллельны и что углы между смежными сторонами прямые.

Сначала найдем векторы сторон:

\[ \vec{AB} = (0 - (-6); 5 - 1) = (6; 4) \]

\[ \vec{MC} = (6 - 0; -4 - (-8)) = (6; 4) \]

\[ \vec{AM} = (0 - (-6); -8 - 1) = (6; -9) \]

\[ \vec{BC} = (6 - 0; -4 - 5) = (6; -9) \]

Так как \[ \vec{AB} = \vec{MC} \] и \[ \vec{AM} = \vec{BC} \], то стороны AB и MC, а также AM и BC параллельны. Чтобы доказать, что углы прямые, проверим перпендикулярность смежных сторон, например, AB и BC. Для этого вычислим скалярное произведение этих векторов:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (6 \cdot 6) + (4 \cdot (-9)) = 36 - 36 = 0 \]

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы AB и BC перпендикулярны. Следовательно, ABCM – прямоугольник.

б) Координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника находятся как середины диагоналей. Найдем координаты середины диагонали AC:

\[ x = \frac{-6 + 6}{2} = 0 \]

\[ y = \frac{1 + (-4)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5 \]

Координаты точки пересечения диагоналей: (0; -1.5).

Ответ: ABCM - прямоугольник. Координаты точки пересечения диагоналей: (0; -1.5).

Задание 4

В равнобедренной трапеции один из углов равен 60 градусов, боковая сторона равна 8 см, меньшее основание - 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, где BC = 7 см — меньшее основание, AB = CD = 8 см — боковые стороны, и угол BAD = 60 градусов.

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда AH = KD, так как трапеция равнобедренная. Рассмотрим треугольник ABH. В нем угол BAH = 60 градусов, AB = 8 см. AH можно найти, используя косинус угла BAH:

\[ cos(60^\circ) = \frac{AH}{AB} \]

\[ AH = AB \cdot cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \] см

Так как AH = KD, то KD = 4 см. Большее основание AD можно найти как:

\[ AD = BC + AH + KD = 7 + 4 + 4 = 15 \] см

Средняя линия трапеции MN вычисляется как полусумма оснований:

\[ MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] см

Ответ: Средняя линия трапеции равна 11 см.

Задание 5

Найдите координаты точки А, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек В(-2;-3) и С(4; 1).

Так как точка А лежит на оси ординат, её координата x равна 0. Пусть координата y точки А равна y. Тогда точка А имеет координаты (0; y).

Точка А равноудалена от точек B и C, поэтому AB = AC. Расстояние между двумя точками можно вычислить по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Тогда:\[ AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (-3 - y)^2} \]

\[ AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - y)^2} \]

Поскольку AB = AC, то:

\[ \sqrt{(-2)^2 + (-3 - y)^2} = \sqrt{(4)^2 + (1 - y)^2} \]

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[ 4 + (-3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \]

\[ 4 + (9 + 6y + y^2) = 16 + (1 - 2y + y^2) \]

\[ 13 + 6y + y^2 = 17 - 2y + y^2 \]

Упростим уравнение:

\[ 6y + 2y = 17 - 13 \]

\[ 8y = 4 \]

\[ y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Итак, координаты точки A равны (0; 0.5).

Ответ: Координаты точки А: (0; 0.5).

С каждым решенным заданием ты становишься увереннее в своих знаниях. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!