Контрольная работа «Векторы» Вариант 1 ите координаты и длину вектора Б, если Б =С-а, с(6;-2), d(1;-2). гороне ВС ромба АВСХ лежит точка К так, что ВККС, О точка пересечения ей. Выразите векторы АО, АК, КХ через векторы а-АВ и С=АМ. угольник МПК задан координатами своих вершин: М(-6; 1), N(2; 4), K(2; -2). кажите, что ДММК — равнобедренный. йдите высоту, проведенную из вершины М. равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5см и 12см. те среднюю линию трапеции. найдите координаты точки №, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек 1) и К(-4; 5).

Привет! Сейчас мы вместе решим эту контрольную работу по векторам. Будь внимателен, и у тебя всё получится!

1. Найдем координаты и длину вектора Б

Давай разберем по порядку. У нас есть вектор Б, который равен разности векторов С и d, где С(6;-2) и d(1;-2).

Чтобы найти вектор Б, нужно вычесть соответствующие координаты вектора d из координат вектора С:

Б = С - d = (6-1; -2-(-2)) = (5; 0)

Теперь найдем длину вектора Б. Длина вектора вычисляется по формуле:

\[ |Б| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Подставляем координаты вектора Б:

\[ |Б| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: Координаты вектора Б(5; 0), длина вектора |Б| = 5

---

2. Выразим векторы АО, АК, КХ через векторы a = AB и c = AM

Давай разберемся, что нам дано. У нас есть ромб ABCX, и на стороне BC лежит точка K так, что BK = KC. Точка O - точка пересечения диагоналей.

Выразим векторы АО, АК, КХ через векторы a и c.

• АО:

Так как O - точка пересечения диагоналей ромба, то AO - это половина диагонали AC. В ромбе диагонали делятся пополам точкой пересечения. Вектор AC можно представить как сумму векторов AB и BC:

\[ AC = AB + BC \]

Так как BC = 2BK и BK = KC, а также BC = AM, то:

\[ AC = a + c \]

Тогда:

\[ AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(a + c) \]

• АК:

Точка K лежит на стороне BC и делит её пополам. Значит, BK = 1/2 * BC = 1/2 * c. Тогда:

\[ AK = AB + BK = a + \frac{1}{2}c \]

• КХ:

Чтобы найти вектор КХ, нужно рассмотреть вектор AX. AX = AM - XM. Так как XM = BK и AX = BC = AM, то:

\[ KX = -\frac{1}{2}c + a = a - \frac{1}{2}c \]

Ответ: AO = 1/2(a + c), AK = a + 1/2c, KX = a - 1/2c

---

3. Докажем, что ΔMNK — равнобедренный и найдем высоту из вершины M

У нас есть координаты вершин треугольника MNK: M(-6; 1), N(2; 4), K(2; -2). Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны.

Найдем длины сторон MN, NK и MK:

• Длина MN:

\[ MN = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

• Длина NK:

\[ NK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 \]

• Длина MK:

\[ MK = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

Так как MN = MK = √73, то треугольник MNK равнобедренный.

Найдем высоту, проведенную из вершины M. Высота будет перпендикулярна стороне NK. Так как NK - вертикальная прямая (x = 2), то высота, проведенная из точки M, будет горизонтальной прямой, проходящей через точку M(-6; 1).

Длина высоты равна расстоянию от точки M до прямой NK. Так как высота перпендикулярна NK, это расстояние равно разнице координат x точки M и координаты x прямой NK:

Высота = |x_M - x_K| = |-6 - 2| = |-8| = 8

Ответ: Треугольник MNK равнобедренный, высота из вершины M равна 8

---

4. Найдем среднюю линию трапеции

В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5см и 12см. Найдем среднюю линию трапеции.

Пусть большее основание трапеции равно a, меньшее основание равно b, а высота, проведенная из вершины, делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Тогда:

\[ a = 5 + 12 = 17 \]

Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, на которые высота делит большее основание, равны:

\[ \frac{a - b}{2} \]

Тогда:

\[ b = a - 2 \cdot (12 - 5) = 17 - 2 \cdot 7 = 17 - 14 = 3 \]

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:

\[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{17 + 3}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ: Средняя линия трапеции равна 10 см

---

5. Найдем координаты точки N

Найдем координаты точки N, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек A(1; -1) и K(-4; 5).

Так как точка N лежит на оси ординат, её координата x равна 0. Пусть координата y точки N равна y_N. Тогда точка N имеет координаты (0; y_N).

Так как точка N равноудалена от точек A и K, расстояния NA и NK равны:

\[ NA = NK \]

\[ \sqrt{(1 - 0)^2 + (-1 - y_N)^2} = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (5 - y_N)^2} \]

Возведем обе части в квадрат:

\[ (1 - 0)^2 + (-1 - y_N)^2 = (-4 - 0)^2 + (5 - y_N)^2 \]

\[ 1 + (1 + 2y_N + y_N^2) = 16 + (25 - 10y_N + y_N^2) \]

\[ 2 + 2y_N + y_N^2 = 41 - 10y_N + y_N^2 \]

\[ 12y_N = 39 \]

\[ y_N = \frac{39}{12} = \frac{13}{4} = 3.25 \]

Ответ: Координаты точки N (0; 3.25)

Ты отлично справился с этой контрольной работой! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!