Контрольная работа за I четверть. Вариант I. № 1. Разложите на множители: а) x² − 14x + 45; б) 3y² + 7y − 6. № 2. Постройте график функции y = x² − 2x − 8. Найдите с помощью графика: а) y при x = −1,5; б) x при y = 3; в) нули функции; г) промежутки, в которых y > 0 и y < 0. № 3. Сократите дробь (3p² + p − 2)/(4 − 9p²). № 4. Найдите значение выражения: а) 0,2 · ⁵√(−32) + ⁴√81 − ⁶√1; б) ³√(0,001 · 64); в) (⁵√3)⁻¹⁰. № 5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = ⅓x² и прямая y = 6x − 15. Если точки пересечения существуют, найдите их координаты.

Подбираем числа, произведение которых равно свободному члену, а сумма — коэффициенту при переменной.

а) x² − 14x + 45 = (x − 5)(x − 9).

б) 3y² + 7y − 6 = 3y² + 9y − 2y − 6 = 3y(y + 3) − 2(y + 3) = (3y − 2)(y + 3).

График — парабола, ветви направлены вверх. Преобразуем выражение: y = (x − 1)² − 9. Вершина — (1; −9), ось симметрии — x = 1.

а) При x = −1,5: y = (−1,5)² − 2·(−1,5) − 8 = −2,75.

б) При y = 3: x² − 2x − 8 = 3, поэтому x² − 2x − 11 = 0 и x = 1 ± 2√3. Приблизительно x ≈ −2,46 или x ≈ 4,46.

в) Нули функции: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) = 0, значит x = −2 и x = 4.

г) Парабола направлена вверх и пересекает ось x в точках −2 и 4, поэтому y > 0 при x ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞), а y < 0 при x ∈ (−2; 4).

Разложим числитель и знаменатель на множители:

3p² + p − 2 = (3p − 2)(p + 1); 4 − 9p² = (2 − 3p)(2 + 3p).

Так как 2 − 3p = −(3p − 2), сокращаем общий множитель. Ограничения: знаменатель исходной дроби не равен нулю, поэтому p ≠ ±⅔.

(3p² + p − 2)/(4 − 9p²) = −(p + 1)/(3p + 2), p ≠ ±⅔.

а) ⁵√(−32) = −2, ⁴√81 = 3, ⁶√1 = 1. Тогда 0,2·(−2) + 3 − 1 = 1,6.

б) ³√(0,001·64) = ³√0,064 = 0,4.

в) (⁵√3)⁻¹⁰ = (3^1/5)⁻¹⁰ = 3⁻² = 1/9.

Приравняем формулы функций: ⅓x² = 6x − 15. Умножим на 3: x² − 18x + 45 = 0. Дискриминант D = 18² − 4·45 = 144, поэтому x = (18 ± 12)/2, то есть x = 3 или x = 15.

При x = 3 получаем y = ⅓·9 = 3; при x = 15 получаем y = ⅓·225 = 75.

Ответ: графики пересекаются в точках (3; 3) и (15; 75).