Контрольная работа за I четверть. Вариант II. № 1. Разложите на множители: а) x² − 10x + 21; б) 5y² + 9y − 2. № 2. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Найдите с помощью графика: а) y при x = 0,5; б) x при y = 3; в) нули функции; г) промежутки, в которых y > 0 и y < 0. № 3. Сократите дробь (4c² + 7c − 2)/(1 − 16c²). № 4. Найдите значение выражения: а) ⅛√64 − 2·³√(−125) + 1; б) √(121 + 1·0,01); в) (⁴√3)⁻¹². № 5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = ½x² и прямая y = 12 − x. Если точки пересечения существуют, найдите их координаты.

Подбираем числа для разложения квадратных трёхчленов.

а) x² − 10x + 21 = (x − 3)(x − 7).

б) 5y² + 9y − 2 = 5y² + 10y − y − 2 = 5y(y + 2) − 1(y + 2) = (5y − 1)(y + 2).

Преобразуем выражение: y = (x − 2)² − 9. График — парабола, ветви направлены вверх; вершина — (2; −9), ось симметрии — x = 2.

а) При x = 0,5: y = (0,5)² − 4·0,5 − 5 = −6,75.

б) При y = 3: x² − 4x − 5 = 3, поэтому x² − 4x − 8 = 0 и x = 2 ± 2√3. Приблизительно x ≈ −1,46 или x ≈ 5,46.

в) Нули функции: x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) = 0, значит x = −1 и x = 5.

г) Парабола направлена вверх и пересекает ось x в точках −1 и 5, поэтому y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (5; +∞), а y < 0 при x ∈ (−1; 5).

Разложим на множители: 4c² + 7c − 2 = (4c − 1)(c + 2); 1 − 16c² = (1 − 4c)(1 + 4c).

Поскольку 1 − 4c = −(4c − 1), сокращаем общий множитель. Ограничения из исходного знаменателя: c ≠ ±¼.

(4c² + 7c − 2)/(1 − 16c²) = −(c + 2)/(4c + 1), c ≠ ±¼.

а) ⅛√64 − 2·³√(−125) + 1 = ⅛·8 − 2·(−5) + 1 = 7.

б) √(121 + 1·0,01) = √121,01 ≈ 11,00045.

в) При чтении индекса корня как 4: (⁴√3)⁻¹² = (3^1/4)⁻¹² = 3⁻³ = 1/27.

Приравняем формулы функций: ½x² = 12 − x. Умножим на 2 и перенесём слагаемые: x² + 2x − 24 = 0. Разложение на множители: (x + 6)(x − 4) = 0, откуда x = −6 или x = 4.

При x = −6 получаем y = 12 − (−6) = 18; при x = 4 получаем y = 12 − 4 = 8.

Ответ: графики пересекаются в точках (−6; 18) и (4; 8).