Контрольная работа за 9 классн Bapuain 1. : ит четверть Bapeaun 2 ① Ресишеть неравенство. a) 2x²-13x+620; δ) 3x²-6x+32>0; в) калд a) 5x²+3x-8>0; 2 8) 5x-4x+21>0; b) x²<16 ② Решить уравнение a) x³-13x=0 6) 007x+12=0 a) x²-5x=0 8) x²-11x²+18=0 (3.) Построить график функцur. y=x²-6x+5 y = -x-2x+8 (4) Найти член a) 37 37 арифми, прог- аз 29 член ариф рессия (ат), первомий метической прог ресели ееме член которой равento, hepsin reese - 86, а разность равна -2. а размость = 3. 6) сумму первыx gray 8) cyusuу первоех yamu шести членов чле восемнадцати нав ариф. прогрессше. (bn): 31-1;... арифм прогрессии (си) Оценить прямоугольника если 262 0 12

Ответ: Решения представлены ниже.

Вариант 1

1. Решить неравенство

a) 2x² - 13x + 6 < 0

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 13x + 6 = 0
2. Вычислим дискриминант: D = (-13)² - 4 * 2 * 6 = 169 - 48 = 121
3. Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6\] \[x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\]

4. Решением неравенства 2x² - 13x + 6 < 0 является интервал между корнями:

x ∈ (0.5; 6)

б) 3x² - 6x + 32 > 0

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения 3x² - 6x + 32 = 0
2. Вычислим дискриминант: D = (-6)² - 4 * 3 * 32 = 36 - 384 = -348

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при x² (равный 3) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство 3x² - 6x + 32 > 0 выполняется для всех x.

x ∈ (-∞; +∞)

в) x² > 9

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: x² - 9 > 0
2. Найдем корни уравнения x² - 9 = 0 : x = ±3
3. Решением неравенства x² > 9 являются интервалы:

x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞)

2. Решить уравнение

a) x³ - 13x = 0

Логика такая:

1. Вынесем x за скобки: x(x² - 13) = 0
2. Найдем корни уравнения:

x = 0

x² - 13 = 0

x² = 13

\[x = \pm \sqrt{13}\]

x = 0, x = \(\sqrt{13}\), x = -\(\sqrt{13}\)

б) x⁴ - 7x² + 12 = 0

Логика такая:

1. Введем замену y = x² , тогда уравнение примет вид: y² - 7y + 12 = 0
2. Найдем корни квадратного уравнения y² - 7y + 12 = 0

D = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

\[y_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[y_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]

3. Вернемся к замене:

x² = 4

x = ±2

x² = 3

\[x = \pm \sqrt{3}\]

x = 2, x = -2, x = \(\sqrt{3}\), x = -\(\sqrt{3}\)

3. Построить график функции

y = x² - 6x + 5

4. Найти

a) 37-й член арифметической прогрессии (an), первый член которой равен 75, а разность равна -2.

Логика такая:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

a₁ = 75, d = -2, n = 37

a₃₇ = 75 + (37 - 1) * (-2) = 75 + 36 * (-2) = 75 - 72 = 3

a₃₇ = 3

б) Сумму первых двадцати шести членов арифметической прогрессии (cn): 7; 11; ...

Логика такая:

c₁ = 7

d = 11 - 7 = 4

n = 26

\[S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\] \[S_{26} = \frac{2 \cdot 7 + (26 - 1) \cdot 4}{2} \cdot 26\] \[S_{26} = \frac{14 + 25 \cdot 4}{2} \cdot 26\] \[S_{26} = \frac{14 + 100}{2} \cdot 26\] \[S_{26} = \frac{114}{2} \cdot 26 = 57 \cdot 26 = 1482\] \[S_{26} = 1482\]

Вариант 2

1. Решить неравенство

a) 5x² + 3x - 8 > 0

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения 5x² + 3x - 8 = 0
2. Вычислим дискриминант: D = 3² - 4 * 5 * (-8) = 9 + 160 = 169
3. Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 13}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 13}{10} = \frac{-16}{10} = -1.6\]

4. Решением неравенства 5x² + 3x - 8 > 0 являются интервалы:

x ∈ (-∞; -1.6) ∪ (1; +∞)

б) 5x² - 4x + 21 > 0

Логика такая:

1. Найдем корни квадратного уравнения 5x² - 4x + 21 = 0
2. Вычислим дискриминант: D = (-4)² - 4 * 5 * 21 = 16 - 420 = -404

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при x² (равный 5) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство 5x² - 4x + 21 > 0 выполняется для всех x.

x ∈ (-∞; +∞)

в) x² < 16

Логика такая:

1. Перепишем неравенство: x² - 16 < 0
2. Найдем корни уравнения x² - 16 = 0 : x = ±4
3. Решением неравенства x² < 16 является интервал:

x ∈ (-4; 4)

2. Решить уравнение

a) x⁴ - 5x² = 0

Логика такая:

1. Вынесем x² за скобки: x²(x² - 5) = 0
2. Найдем корни уравнения:

x² = 0

x = 0

x² - 5 = 0

x² = 5

\[x = \pm \sqrt{5}\]

x = 0, x = \(\sqrt{5}\), x = -\(\sqrt{5}\)

б) x⁴ - 11x² + 18 = 0

Логика такая:

1. Введем замену y = x² , тогда уравнение примет вид: y² - 11y + 18 = 0
2. Найдем корни квадратного уравнения y² - 11y + 18 = 0

D = (-11)² - 4 * 1 * 18 = 121 - 72 = 49

\[y_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = 9\] \[y_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = 2\]

3. Вернемся к замене:

x² = 9

x = ±3

x² = 2

\[x = \pm \sqrt{2}\]

x = 3, x = -3, x = \(\sqrt{2}\), x = -\(\sqrt{2}\)

3. Построить график функции

y = -x² - 2x + 8

4. Найти

a) 29-й член арифметической прогрессии, если первый член -86, а разность = 3.

Логика такая:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

a₁ = -86, d = 3, n = 29

a₂₉ = -86 + (29 - 1) * 3 = -86 + 28 * 3 = -86 + 84 = -2

a₂₉ = -2

б) Сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии (bn): 3; -1; ...

Логика такая:

b₁ = 3

d = -1 - 3 = -4

n = 18

\[S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\] \[S_{18} = \frac{2 \cdot 3 + (18 - 1) \cdot (-4)}{2} \cdot 18\] \[S_{18} = \frac{6 + 17 \cdot (-4)}{2} \cdot 18\] \[S_{18} = \frac{6 - 68}{2} \cdot 18\] \[S_{18} = \frac{-62}{2} \cdot 18 = -31 \cdot 18 = -558\] \[S_{18} = -558\]

Ответ: Решения представлены выше.