Контрольная работа І вариант 1.Для функции (х) = 3x²-1 найти первообразную, график которой проходит через точку М(-1; 2). 2. Вычислите интеграл: a) ∫₁⁻¹ x⁴ dx; б) ∫₋₃² (2x – 3)dx; в) ∫₃¹ 4x dx; г) ∫₀π/₂ cos2x dx; д) ∫₀² (3x²- 4x + 5) dx; 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: y=x2,y=2-x

2. Вычисление интегралов:

• a) ∫₁⁻¹ x⁴ dx = 0 (так как пределы интегрирования одинаковы)
• б) ∫₋₃² (2x – 3)dx = [x² - 3x]₋₃² = (2² - 3*2) - ((-3)² - 3*(-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20
• в) ∫₃¹ 4x dx = [2x²]₃¹ = (2*1²) - (2*3²) = 2 - 18 = -16
• г) ∫₀^(π/₂) cos2x dx = [\(\frac{1}{2}\)sin2x]₀^(π/₂) = \(\frac{1}{2}\)(sin(2*\(\frac{π}{2}\)) - sin(0)) = \(\frac{1}{2}\)(sin(π) - 0) = 0
• д) ∫₀² (3x² - 4x + 5) dx = [x³ - 2x² + 5x]₀² = (2³ - 2*2² + 5*2) - (0) = (8 - 8 + 10) = 10

3. Вычисление площади фигуры:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 2 - x, нужно найти точки пересечения этих линий, а затем вычислить интеграл от разности функций на полученном интервале.

• Шаг 1: Находим точки пересечения:

x² = 2 - x

x² + x - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 1² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

x₁ = \(\frac{-1 + \sqrt{9}}{2*1}\) = \(\frac{-1 + 3}{2}\) = 1

x₂ = \(\frac{-1 - \sqrt{9}}{2*1}\) = \(\frac{-1 - 3}{2}\) = -2

• Шаг 2: Вычисляем площадь:

S = ∫₋₂¹ ((2 - x) - x²) dx = [2x - \(\frac{x²}{2}\) - \(\frac{x³}{3}\)]₋₂¹ = (2*1 - \(\frac{1²}{2}\) - \(\frac{1³}{3}\)) - (2*(-2) - \(\frac{(-2)²}{2}\) - \(\frac{(-2)³}{3}\)) = (2 - \(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\)) - (-4 - 2 + \(\frac{8}{3}\)) = 2 - \(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\) + 4 + 2 - \(\frac{8}{3}\) = 8 - \(\frac{1}{2}\) - \(\frac{9}{3}\) = 8 - \(\frac{1}{2}\) - 3 = 5 - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{9}{2}\) = 4.5

Ответ: S = 4.5