Контрольная работа ІІ вариант 1.Для функции f(x) = 2x + 2 найти первообразную, график которой проходит через точку М(-2; 5). 2. Вычислите интеграл: a) ∫₋₂¹ 2x dx; б) ∫₋₁⁰ (5 – 4x)dx; в) ∫₋₃⁰ 4x³ dx; г) ∫₋π/₄π/₄ sin2x dx; д) ∫₋₁² (2x² + 3x - 4) dx; 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: y = 2x2, y = 0,5 x + 1,5

2. Вычисление интегралов:

• а) ∫₋₂¹ 2x dx = [x²]₋₂¹ = 1² - (-2)² = 1 - 4 = -3
• б) ∫₋₁⁰ (5 – 4x)dx = [5x - 2x²]₋₁⁰ = (5*0 - 2*0²) - (5*(-1) - 2*(-1)²) = 0 - (-5 - 2) = 7
• в) ∫₋₃⁰ 4x³ dx = [x⁴]₋₃⁰ = 0⁴ - (-3)⁴ = 0 - 81 = -81
• г) ∫₋π/₄π/₄ sin2x dx = [-\(\frac{1}{2}\)cos2x]₋π/₄π/₄ = -\(\frac{1}{2}\)(cos(2*\(\frac{π}{4}\)) - cos(2*(- \(\frac{π}{4}\)))) = -\(\frac{1}{2}\)(cos(\(\frac{π}{2}\)) - cos(- \(\frac{π}{2}\))) = -\(\frac{1}{2}\)(0 - 0) = 0
• д) ∫₋₁² (2x² + 3x - 4) dx = [\(\frac{2}{3}\)x³ + \(\frac{3}{2}\)x² - 4x]₋₁² = (\(\frac{2}{3}\)*2³ + \(\frac{3}{2}\)*2² - 4*2) - (\(\frac{2}{3}\)*(-1)³ + \(\frac{3}{2}\)*(-1)² - 4*(-1)) = (\(\frac{16}{3}\) + 6 - 8) - (- \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{2}\) + 4) = \(\frac{16}{3}\) - 2 + \(\frac{2}{3}\) - \(\frac{3}{2}\) - 4 = \(\frac{18}{3}\) - 6 - \(\frac{3}{2}\) = 6 - 6 - \(\frac{3}{2}\) = -\(\frac{3}{2}\) = -1.5

3. Вычисление площади фигуры:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 2x² и y = 0.5x + 1.5, нужно найти точки пересечения этих линий, а затем вычислить интеграл от разности функций на полученном интервале.

• Шаг 1: Находим точки пересечения:

2x² = 0.5x + 1.5

2x² - 0.5x - 1.5 = 0

4x² - x - 3 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-1)² - 4*4*(-3) = 1 + 48 = 49

x₁ = \(\frac{1 + \sqrt{49}}{2*4}\) = \(\frac{1 + 7}{8}\) = 1

x₂ = \(\frac{1 - \sqrt{49}}{2*4}\) = \(\frac{1 - 7}{8}\) = -\(\frac{3}{4}\)

• Шаг 2: Вычисляем площадь:

S = ∫₋¾¹ ((0.5x + 1.5) - 2x²) dx = [0.25x² + 1.5x - \(\frac{2}{3}\)x³]₋¾¹ = (0.25*1² + 1.5*1 - \(\frac{2}{3}\)*1³) - (0.25*(- \(\frac{3}{4}\))² + 1.5*(- \(\frac{3}{4}\)) - \(\frac{2}{3}\)*(- \(\frac{3}{4}\))³) = (0.25 + 1.5 - \(\frac{2}{3}\)) - (0.25*\(\frac{9}{16}\) - \(\frac{9}{8}\) + \(\frac{2}{3}\)*\(\frac{27}{64}\)) = 1.75 - \(\frac{2}{3}\) - \(\frac{9}{64}\) + \(\frac{9}{8}\) - \(\frac{9}{32}\) = \(\frac{7}{4}\) - \(\frac{2}{3}\) - \(\frac{9}{64}\) + \(\frac{9}{8}\) - \(\frac{9}{32}\) = \(\frac{399}{192}\) = 2.078

Ответ: S ≈ 2.078