Контрольная работа «Логарифмы» Вариант 2 1. Вычислить: 1 1) log3 27; 2) (1)2 log17 ; 2 3 3) log2 56 + 2 log2 12 - log2 63 2. Найти область определения функции (x-1)(x + 4) y = log 4 11 3-x 3. Сравнить числа: logo,9 1 1 и logo,9 1 2 3 4. Решить уравнение: 1)log(2x + 3) = 3 2)log3 (x8) + log3 8 = 2 3)log3x + log, x = 10 5. Решить неравенство: 1)logs (x-3) < 2 2) (log2x)² - 3 log2 x ≤ 4

Давай разберем контрольную работу по логарифмам. Вариант 2. 1. Вычислить: 1) \( \log_3 \frac{1}{27} \) \( \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3 \) 2) \( (\frac{1}{3})^{2 \log_{\frac{1}{3}} 7} \) \( (\frac{1}{3})^{2 \log_{\frac{1}{3}} 7} = ((\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 7})^2 = 7^2 = 49 \) 3) \( \log_2 56 + 2 \log_2 12 - \log_2 63 \) \( \log_2 56 + 2 \log_2 12 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 12^2 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 144 - \log_2 63 \) \( = \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63} = \log_2 \frac{8 \cdot 144}{9} = \log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 (2^3 \cdot 2^4) = \log_2 2^7 = 7 \) 2. Найти область определения функции: \( y = \log_{\frac{4}{11}} \frac{(x - 1)(x + 4)}{3 - x} \) Область определения логарифма: \( \frac{(x - 1)(x + 4)}{3 - x} > 0 \) Решим неравенство методом интервалов. 1) Найдем нули числителя и знаменателя: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \) \( 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3 \) 2) Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

   -      +      -      + 
----(-4)----(1)----(3)----

Значит, \( x \in (-4, 1) \cup (3, +\infty) \) 3. Сравнить числа: \( \log_{0.9} 1\frac{1}{2} \) и \( \log_{0.9} 1\frac{1}{3} \) Функция \( \log_{0.9} x \) убывает, так как основание меньше 1. Значит, больше то число, у которого аргумент меньше. Сравним аргументы: \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \) и \( 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \) \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \) \( \frac{4}{3} = \frac{8}{6} \) Так как \( \frac{9}{6} > \frac{8}{6} \), то \( \log_{0.9} \frac{3}{2} < \log_{0.9} \frac{4}{3} \) 4. Решить уравнение: 1) \( \log_4 (2x + 3) = 3 \) \( 2x + 3 = 4^3 \) \( 2x + 3 = 64 \) \( 2x = 61 \) \( x = \frac{61}{2} = 30.5 \) 2) \( \log_3 (x - 8) + \log_3 8 = 2 \) \( \log_3 (8(x - 8)) = 2 \) \( 8(x - 8) = 3^2 \) \( 8x - 64 = 9 \) \( 8x = 73 \) \( x = \frac{73}{8} = 9.125 \) 3) \( \log_{\sqrt{3}} x + \log_9 x = 10 \) \( \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}} + \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = 10 \) \( \frac{\log_3 x}{\frac{1}{2}} + \frac{\log_3 x}{2} = 10 \) \( 2 \log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x = 10 \) \( \frac{5}{2} \log_3 x = 10 \) \( \log_3 x = 4 \) \( x = 3^4 \) \( x = 81 \) 5. Решить неравенство: 1) \( \log_5 (x - 3) < 2 \) \( x - 3 < 5^2 \) \( x - 3 < 25 \) \( x < 28 \) Учитывая, что \( x - 3 > 0 \), то \( x > 3 \) Значит, \( x \in (3, 28) \) 2) \( (\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x \le 4 \) Пусть \( t = \log_2 x \), тогда: \( t^2 - 3t \le 4 \) \( t^2 - 3t - 4 \le 0 \) \( (t - 4)(t + 1) \le 0 \) Значит, \( t \in [-1, 4] \) \( -1 \le \log_2 x \le 4 \) \( 2^{-1} \le x \le 2^4 \) \( \frac{1}{2} \le x \le 16 \)

Ответ: Подробное решение выше.

Ты молодец! У тебя всё получится!