Контрольная работа «Логарифмы» Вариант 1 1. Вычислить: 1) log1 16; 2) 51+logs 3; 2 3) log3 135-log3 20 + 2 log3 6 2. Найти область определения функции y = logs x-1 (3-x)(4-x) 3. Сравнить числа: log13 и log14 2 4 2 5 4. Решить уравнение: 1)log5(2x-1) = 2 2)log2(x2) + log2 x = 3 3) logs x + log√2x = 14 5. Решить неравенство: 1)log(x - 5) > 1 2) (log3x)²-2 log3 x ≤ 3

Давай разберем по порядку контрольную работу по логарифмам. Вариант 1. 1. Вычислить: 1) \( \log_{\frac{1}{2}} 16 \) \( \log_{\frac{1}{2}} 16 = x \) означает \( (\frac{1}{2})^x = 16 \) \( (2^{-1})^x = 2^4 \) \( 2^{-x} = 2^4 \) \( -x = 4 \) \( x = -4 \) 2) \( 5^{1 + \log_5 3} \) \( 5^{1 + \log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 3} = 5 \cdot 3 = 15 \) 3) \( \log_3 135 - \log_3 20 + 2 \log_3 6 \) \( \log_3 135 - \log_3 20 + 2 \log_3 6 = \log_3 135 - \log_3 20 + \log_3 6^2 = \log_3 135 - \log_3 20 + \log_3 36 \) \( = \log_3 \frac{135 \cdot 36}{20} = \log_3 \frac{135 \cdot 9}{5} = \log_3 (27 \cdot 9) = \log_3 (3^3 \cdot 3^2) = \log_3 3^5 = 5 \) 2. Найти область определения функции: \( y = \log_5 \frac{x-1}{(3-x)(4-x)} \) Область определения логарифма: \( \frac{x-1}{(3-x)(4-x)} > 0 \) Решим неравенство методом интервалов. 1) Найдем нули числителя и знаменателя: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) \( 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3 \) \( 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 \) 2) Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

   +      -      +      - 
----(1)----(3)----(4)----

Значит, \( x \in (1, 3) \cup (4, +\infty) \) 3. Сравнить числа: \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{4} \) и \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5} \) Функция \( \log_{\frac{1}{2}} x \) убывает, так как основание меньше 1. Значит, больше то число, у которого аргумент меньше. Сравним аргументы: \( \frac{3}{4} \) и \( \frac{4}{5} \) \( \frac{3}{4} = \frac{15}{20} \) \( \frac{4}{5} = \frac{16}{20} \) Так как \( \frac{15}{20} < \frac{16}{20} \), то \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{4} > \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5} \) 4. Решить уравнение: 1) \( \log_5 (2x - 1) = 2 \) \( 2x - 1 = 5^2 \) \( 2x - 1 = 25 \) \( 2x = 26 \) \( x = 13 \) 2) \( \log_2 (x - 2) + \log_2 x = 3 \) \( \log_2 ((x - 2)x) = 3 \) \( (x - 2)x = 2^3 \) \( x^2 - 2x = 8 \) \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 4, x_2 = -2 \) Так как под логарифмом должно быть положительное число, то \( x = 4 \) 3) \( \log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14 \) \( \log_8 x + \frac{\log_8 x}{\log_8 \sqrt{2}} = 14 \) \( \log_8 x + \frac{\log_8 x}{\log_8 2^{\frac{1}{2}}} = 14 \) \( \log_8 x + \frac{\log_8 x}{\frac{1}{2} \log_8 2} = 14 \) \( \log_8 x + \frac{\log_8 x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 14 \) \( \log_8 x + 6 \log_8 x = 14 \) \( 7 \log_8 x = 14 \) \( \log_8 x = 2 \) \( x = 8^2 \) \( x = 64 \) 5. Решить неравенство: 1) \( \log_1 (x - 5) > 1 \) Тут опечатка, наверное, основание должно быть больше 1. \( \log_a (x - 5) > 1 \), где \( a > 1 \) \( x - 5 > a^1 \) \( x > a + 5 \) 2) \( (\log_3 x)^2 - 2 \log_3 x \le 3 \) Пусть \( t = \log_3 x \), тогда: \( t^2 - 2t \le 3 \) \( t^2 - 2t - 3 \le 0 \) \( (t - 3)(t + 1) \le 0 \) Значит, \( t \in [-1, 3] \) \( -1 \le \log_3 x \le 3 \) \( 3^{-1} \le x \le 3^3 \) \( \frac{1}{3} \le x \le 27 \)

Ответ: Подробное решение выше.

Ты молодец! У тебя всё получится!