Контрольная работа meld; „Неравенства. Системы неравенств. Системы уравнений вариант 2 Решите неравенство: a) =y < -3; of 6-42y≤0; 6)3. (3x-1) > 2. (8x-4) 2 Решите систему неравенств: 5x+4<0 (3x+1,570 2x+10>0 11-3x713 №3 Докажите, что при любом значении N3 перешенной, неравенстве верно. a) (a-2).(a+2)+11>0; б) X. (X+10) < (x+5)² (24) Изкетно, что а > в. Сравните: a) A+6 u br6 ; d) - 7a u-76; 6) ---- (45) Известко: 2,2 < √5 <2,3. Оцените: af 7.55; 8) √5 + 7. 6 Решите систему уравнений: X-2y=2 2 (3x-y²=11 При каких значениях Х выражение Х+6 меньше выражения *+1

№1 Решите неравенство:

а) \(\frac{1}{2}y < -3\)

Шаг 1: Умножаем обе части неравенства на 2:

\[y < -3 \cdot 2\]

\[y < -6\]

Ответ: \(y < -6\)

б) \(6 - 42y \le 0\)

Шаг 1: Переносим 6 в правую часть:

\[-42y \le -6\]

Шаг 2: Делим обе части на -42 (меняем знак неравенства):

\[y \ge \frac{-6}{-42}\]

\[y \ge \frac{1}{7}\]

Ответ: \(y \ge \frac{1}{7}\)

в) \(3(3x - 1) > 2(5x - 4)\)

Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[9x - 3 > 10x - 8\]

Шаг 2: Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую:

\[9x - 10x > -8 + 3\]

\[-x > -5\]

Шаг 3: Умножаем обе части на -1 (меняем знак неравенства):

\[x < 5\]

Ответ: \(x < 5\)

№2 Решите систему неравенств:

а)

\[\begin{cases} 5x + 4 < 0 \\ 3x + 1.5 > 0 \end{cases}\]

Шаг 1: Решаем первое неравенство:

\[5x < -4\]

\[x < -\frac{4}{5}\]

Шаг 2: Решаем второе неравенство:

\[3x > -1.5\]

\[x > -\frac{1.5}{3}\]

\[x > -\frac{1}{2}\]

Шаг 3: Записываем решение системы:

\[-\frac{1}{2} < x < -\frac{4}{5}\]

Так как \(-\frac{4}{5} = -0.8\) и \(-\frac{1}{2} = -0.5\), то \(-0.5 < x < -0.8\). Очевидно, что такого не может быть.

Ответ: Решений нет.

б)

\[\begin{cases} 2x + 10 > 0 \\ 1 - 3x > 13 \end{cases}\]

Шаг 1: Решаем первое неравенство:

\[2x > -10\]

\[x > -5\]

Шаг 2: Решаем второе неравенство:

\[-3x > 12\]

\[x < -4\]

Шаг 3: Записываем решение системы:

\[-5 < x < -4\]

Ответ: \(-5 < x < -4\)

№3 Докажите, что при любом значении переменной, неравенство верно.

а) \((a - 2)(a + 2) + 11 > 0\)

Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[a^2 - 4 + 11 > 0\]

\[a^2 + 7 > 0\]

Шаг 2: Так как \(a^2\) всегда неотрицательно (больше или равно 0), то \(a^2 + 7\) всегда больше 0.

Ответ: Неравенство верно при любом значении a.

б) \(x(x + 10) < (x + 5)^2\)

Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[x^2 + 10x < x^2 + 10x + 25\]

Шаг 2: Упрощаем:

\[0 < 25\]

Ответ: Неравенство верно при любом значении x.

№4 Известно, что a > b. Сравните:

а) \(a + 6\) и \(b + 6\)

Так как \(a > b\), то прибавив к обеим частям одно и то же число (6), знак неравенства не изменится.

Ответ: \(a + 6 > b + 6\)

б) \(-7a\) и \(-7b\)

Так как \(a > b\), то при умножении обеих частей на отрицательное число (-7), знак неравенства изменится.

Ответ: \(-7a < -7b\)

в) \(-\frac{a}{5}\) и \(-\frac{b}{5}\)

Так как \(a > b\), то при умножении обеих частей на отрицательное число \(-\frac{1}{5}\), знак неравенства изменится.

Ответ: \(-\frac{a}{5} < -\frac{b}{5}\)

№5 Известно: \(2.2 < \sqrt{5} < 2.3\). Оцените:

а) \(4 \cdot \sqrt{5}\)

Шаг 1: Умножаем все части неравенства на 4:

\[4 \cdot 2.2 < 4 \cdot \sqrt{5} < 4 \cdot 2.3\]

\[8.8 < 4 \cdot \sqrt{5} < 9.2\]

Ответ: \(8.8 < 4 \cdot \sqrt{5} < 9.2\)

б) \(\sqrt{5} + 7\)

Шаг 1: Прибавляем 7 ко всем частям неравенства:

\[2.2 + 7 < \sqrt{5} + 7 < 2.3 + 7\]

\[9.2 < \sqrt{5} + 7 < 9.3\]

Ответ: \(9.2 < \sqrt{5} + 7 < 9.3\)

№6 Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x - 2y = 2 \\ 3x - y^2 = 11 \end{cases}\]

Шаг 1: Выражаем x из первого уравнения:

\[x = 2y + 2\]

Шаг 2: Подставляем x во второе уравнение:

\[3(2y + 2) - y^2 = 11\]

\[6y + 6 - y^2 = 11\]

\[-y^2 + 6y - 5 = 0\]

\[y^2 - 6y + 5 = 0\]

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение относительно y:

\[(y - 1)(y - 5) = 0\]

\[y_1 = 1, \quad y_2 = 5\]

Шаг 4: Находим соответствующие значения x:

\[x_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 4\]

\[x_2 = 2 \cdot 5 + 2 = 12\]

Ответ: (4; 1) и (12; 5)

№7 При каких значениях X выражение X+6 меньше выражения \(\frac{X+1}{4}\)?

Шаг 1: Записываем неравенство:

\[X + 6 < \frac{X + 1}{4}\]

Шаг 2: Умножаем обе части на 4:

\[4(X + 6) < X + 1\]

\[4X + 24 < X + 1\]

Шаг 3: Переносим члены с X в одну сторону, числа в другую:

\[4X - X < 1 - 24\]

\[3X < -23\]

Шаг 4: Делим обе части на 3:

\[X < -\frac{23}{3}\]

Ответ: \(X < -\frac{23}{3}\)