Контрольная работа по теме «Формулы сокращённого умножения» Вариант 1 1.Преобразовать в многочлен: а) (4a+5b)²; б) (3y-2x)²; в) (26-1)³; г) (a + 3b)³ 2. Разложить на множители: а) b³-64; б) a² + 6a +9; в) 49a²b⁴-100c⁴; r) c⁶d⁹+a³ 3. Разложить на множители а)3x²+x 6)16x³-24х в)2x+6+x²+3x 4. Решите уравнение: а) (x-3)²-x(x+2,7) = 9; 6)9у²-25=0. 5. Вычислите, используя формулы сокращённого умножения: а) 234²-233²; 6) 139²+2-139-61+61²; в) 159²-2-159-61+59² 6. Докажите, что значение выражения 356²-245² кратно 3.

1. Преобразовать в многочлен:

• а) \((4a + 5b)^2\)
• б) \((3y - 2x)^2\)
• в) \((2b - 1)^3\)
• г) \((a + 3b)^3\)

Решение:

• а) \((4a + 5b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 5b + (5b)^2 = 16a^2 + 40ab + 25b^2\)
• б) \((3y - 2x)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2x + (2x)^2 = 9y^2 - 12xy + 4x^2\)
• в) \((2b - 1)^3 = (2b)^3 - 3 \cdot (2b)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2b \cdot 1^2 - 1^3 = 8b^3 - 12b^2 + 6b - 1\)
• г) \((a + 3b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3b + 3 \cdot a \cdot (3b)^2 + (3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3\)

2. Разложить на множители:

• а) \(b^3 - 64\)
• б) \(a^2 + 6a + 9\)
• в) \(49a^2b^4 - 100c^4\)
• г) \(c^6d^9 + a^3\)

Решение:

• а) \(b^3 - 64 = (b - 4)(b^2 + 4b + 16)\) (разность кубов)
• б) \(a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2\) (полный квадрат)
• в) \(49a^2b^4 - 100c^4 = (7ab^2 - 10c^2)(7ab^2 + 10c^2)\) (разность квадратов)
• г) \(c^6d^9 + a^3 = (c^2d^3 + a)(c^4d^6 - ac^2d^3 + a^2)\) (сумма кубов)

3. Разложить на множители:

• а) \(3x^2 + x\)
• б) \(16x^3 - 24x\)
• в) \(2x + 6 + x^2 + 3x\)

Решение:

• а) \(3x^2 + x = x(3x + 1)\)
• б) \(16x^3 - 24x = 8x(2x^2 - 3)\)
• в) \(2x + 6 + x^2 + 3x = x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)

4. Решите уравнение:

• а) \((x - 3)^2 - x(x + 2.7) = 9\)
• б) \(9y^2 - 25 = 0\)

Решение:

• а) \((x - 3)^2 - x(x + 2.7) = 9\)
  \(x^2 - 6x + 9 - x^2 - 2.7x = 9\)
  \(-8.7x = 0\)
  \(x = 0\)
• б) \(9y^2 - 25 = 0\)
  \((3y - 5)(3y + 5) = 0\)
  \(3y = 5\) или \(3y = -5\)
  \(y = \frac{5}{3}\) или \(y = -\frac{5}{3}\)

5. Вычислите, используя формулы сокращённого умножения:

• а) \(234^2 - 233^2\)
• б) \(139^2 + 2 \cdot 139 \cdot 61 + 61^2\)
• в) \(159^2 - 2 \cdot 159 \cdot 59 + 59^2\)

Решение:

• а) \(234^2 - 233^2 = (234 - 233)(234 + 233) = 1 \cdot 467 = 467\)
• б) \(139^2 + 2 \cdot 139 \cdot 61 + 61^2 = (139 + 61)^2 = 200^2 = 40000\)
• в) \(159^2 - 2 \cdot 159 \cdot 59 + 59^2 = (159 - 59)^2 = 100^2 = 10000\)

6. Докажите, что значение выражения \(356^2 - 245^2\) кратно 3.

Решение:

\(356^2 - 245^2 = (356 - 245)(356 + 245) = 111 \cdot 601 = 66711\)

Проверим, делится ли 66711 на 3: \(66711 : 3 = 22237\)

Т.к. 66711 делится на 3 без остатка, то выражение \(356^2 - 245^2\) кратно 3.