Контрольная работа по теме «Векторы и координаты в пространстве» Вариант 1 1. Найти координаты точки М - середины отрезка АВ, если А(-2;3;4), B(6;1;-2). Найти длину вектора мв. 2. Точки А и В симметричны относительно точки С. Найдите координаты точки В, если А (-3; 5; -7), C (6; 2; -1). 3. Даны три вершины A(1;-2;3), B(2;3;-5), D(-4;5;1) параллелограмма ABCD. Найти координаты его четвертой вершины С. 4. Даны точки М(3;-2; 2), N(2;-1;0), K(-1;-5;4) и Р(0;-4;4). Найти угол между векторами МП И КР. 5. Даны векторы (3; −2; -1) и 6(1; 2; 3). Найдите: 1) координаты вектора т = -3ả + 2b; 2) косинус угла между векторами а и Б. 6. По координатам точек А, В и С определить вид треугольника АВС. A(9; 3; -5), B(2; 10; -5), C(2; 3; 2)

Задача 1: Найти координаты точки M - середины отрезка AB и длину вектора MB.

• Координаты середины отрезка AB:

M = (\(\frac{A_x + B_x}{2}\); \(\frac{A_y + B_y}{2}\); \(\frac{A_z + B_z}{2}\)) = (\(\frac{-2 + 6}{2}\); \(\frac{3 + 1}{2}\); \(\frac{4 + (-2)}{2}\)) = (2; 2; 1)

• Координаты вектора MB:

MB = (B_x - M_x; B_y - M_y; B_z - M_z) = (6 - 2; 1 - 2; -2 - 1) = (4; -1; -3)

• Длина вектора MB:

|MB| = \(\sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-3)^2}\) = \(\sqrt{16 + 1 + 9}\) = \(\sqrt{26}\)

Задача 2: Точки A и B симметричны относительно точки C. Найти координаты точки B.

Т.к. C - середина отрезка AB, то

B_x = 2 \(C_x\) - \(A_x\) = 2 \cdot 6 - (-3) = 12 + 3 = 15

B_y = 2 \(C_y\) - \(A_y\) = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1

B_z = 2 \(C_z\) - \(A_z\) = 2 \cdot (-1) - (-7) = -2 + 7 = 5

B (15; -1; 5)

Задача 3: Даны три вершины параллелограмма ABCD. Найти координаты вершины C.

Т.к. ABCD - параллелограмм, то \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\)

Пусть C(x; y; z), тогда

\(\overrightarrow{AB}\) = (2 - 1; 3 - (-2); -5 - 3) = (1; 5; -8)

\(\overrightarrow{DC}\) = (x - (-4); y - 5; z - 1) = (x + 4; y - 5; z - 1)

Получаем систему уравнений:

x + 4 = 1, y - 5 = 5, z - 1 = -8

x = -3, y = 10, z = -7

C(-3; 10; -7)

Задача 4: Найти угол между векторами MN и KP.

MN = (2 - 3; -1 - (-2); 0 - 2) = (-1; 1; -2)

KP = (0 - (-1); -4 - (-5); 4 - 4) = (1; 1; 0)

cos(MN, KP) = \(\frac{MN_x \cdot KP_x + MN_y \cdot KP_y + MN_z \cdot KP_z}{|MN| \cdot |KP|}\) = \(\frac{(-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}\) = \(\frac{0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}\) = 0

Угол между векторами MN и KP равен 90°.

Задача 5: Даны векторы a(3; -2; -1) и b(1; 2; 3). Найти:

1. координаты вектора m = -3a + 2b
2. косинус угла между векторами a и b

1. m = -3(3; -2; -1) + 2(1; 2; 3) = (-9; 6; 3) + (2; 4; 6) = (-7; 10; 9)
2. cos(a, b) = \(\frac{a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}{|a| \cdot |b|}\) = \(\frac{3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 3}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}}\) = \(\frac{3 - 4 - 3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}\) = \(\frac{-4}{14}\) = -\(\frac{2}{7}\)

Задача 6: По координатам точек A(9; 3; -5), B(2; 10; -5), C(2; 3; 2) определить вид треугольника ABC.

AB = (2 - 9; 10 - 3; -5 - (-5)) = (-7; 7; 0)

BC = (2 - 2; 3 - 10; 2 - (-5)) = (0; -7; 7)

AC = (2 - 9; 3 - 3; 2 - (-5)) = (-7; 0; 7)

|AB| = \(\sqrt{(-7)^2 + 7^2 + 0^2}\) = \(\sqrt{49 + 49}\) = \(\sqrt{98}\) = 7\(\sqrt{2}\)

|BC| = \(\sqrt{0^2 + (-7)^2 + 7^2}\) = \(\sqrt{49 + 49}\) = \(\sqrt{98}\) = 7\(\sqrt{2}\)

|AC| = \(\sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 7^2}\) = \(\sqrt{49 + 49}\) = \(\sqrt{98}\) = 7\(\sqrt{2}\)

Треугольник ABC - равносторонний.