Контрольная работа по теме «Векторы и координаты в пространстве» Вариант 2 1. Найти координаты точки М- середины отрезка АВ, если А(-3;0;4), В(3;5;-2). Найти длину вектора вм 2. Точки М и К симметричны относительно точки D. Найдите координаты точки К, если М (4; -6; 3) D (-2; 1; 5). 3. Даны три вершины А(2;-8;9), B(-1;3;4), C(-4;6;3) параллелограмма ABCD. Найти координаты его четвертой вершины D. 4. Даны точки A(1; 1; 2), B(1;0;2), C(-1;-1;3) и D(-1;0;3). Найти угол между векторами AB и CD. 5. Даны векторы (2; 1; 2) и (-1; 2; 2). Найдите: 1) координаты вектора а = -2m + 3n; 2) косинус угла между векторамит и п. 6. По координатам точек А, В и С определить вид треугольника АВС. A(3; 7; -4), B(5; -3; 2), C (1; 3; -10)

1. Найти координаты точки M - середины отрезка AB и длину вектора BM

• Координаты точки M (середины AB) находятся как среднее арифметическое координат точек A и B: \[M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)\] \[M = \left(\frac{-3 + 3}{2}, \frac{0 + 5}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}\right) = (0, 2.5, 1)\]
• Вектор BM имеет координаты: \[\overrightarrow{BM} = (x_M - x_B, y_M - y_B, z_M - z_B)\] \[\overrightarrow{BM} = (0 - 3, 2.5 - 5, 1 - (-2)) = (-3, -2.5, 3)\]
• Длина вектора BM: \[|\overrightarrow{BM}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2.5)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 6.25 + 9} = \sqrt{24.25} = 4.92\]

2. Найти координаты точки K, симметричной M относительно D

• Точка D является серединой отрезка MK: \[D = \left(\frac{x_M + x_K}{2}, \frac{y_M + y_K}{2}, \frac{z_M + z_K}{2}\right)\]
• Выразим координаты точки K: \[x_K = 2x_D - x_M, \quad y_K = 2y_D - y_M, \quad z_K = 2z_D - z_M\] \[x_K = 2(-2) - 4 = -8, \quad y_K = 2(1) - (-6) = 8, \quad z_K = 2(5) - 3 = 7\] \[K = (-8, 8, 7)\]

3. Найти координаты четвертой вершины D параллелограмма ABCD

• В параллелограмме ABCD: \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\]
• Координаты вектора AB: \[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-1 - 2, 3 - (-8), 4 - 9) = (-3, 11, -5)\]
• Координаты точки D: \[D = (x_C - (x_B - x_A), y_C - (y_B - y_A), z_C - (z_B - z_A))\] \[D = (-4 - (-3), 6 - 11, 3 - (-5)) = (-1, -5, 8)\]

4. Найти угол между векторами AB и CD

• Координаты векторов AB и CD: \[\overrightarrow{AB} = (1 - 1, 0 - 1, 2 - 2) = (0, -1, 0)\] \[\overrightarrow{CD} = (-1 - (-1), 0 - (-1), 3 - 3) = (0, 1, 0)\]
• Косинус угла между векторами: \[\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}\] \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (0 \cdot 0) + (-1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) = -1\] \[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1\] \[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1\] \[\cos(\alpha) = \frac{-1}{1 \cdot 1} = -1\] \[\alpha = \arccos(-1) = \pi = 180^\circ\]

5. Даны векторы \(\overrightarrow{m}(2; 1; 2)\) и \(\overrightarrow{n}(-1; 2; 2)\). Найти:

1) Координаты вектора \(\overrightarrow{a} = -2\overrightarrow{m} + 3\overrightarrow{n}\)

• \(\overrightarrow{a} = (-2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1); -2 \cdot 1 + 3 \cdot 2; -2 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = (-4 - 3; -2 + 6; -4 + 6) = (-7; 4; 2)\)

2) Косинус угла между векторами \(\overrightarrow{m}\) и \(\overrightarrow{n}\)

• \(\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}| |\overrightarrow{n}|}\)
• \(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = -2 + 2 + 4 = 4\)
• \(|\overrightarrow{m}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
• \(|\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
• \(\cos(\alpha) = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}\)

6. Определить вид треугольника ABC по координатам точек A(3; 7; -4), B(5; -3; 2), C(1; 3; -10)

• Найдем длины сторон треугольника: \[AB = \sqrt{(5-3)^2 + (-3-7)^2 + (2-(-4))^2} = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140}\] \[BC = \sqrt{(1-5)^2 + (3-(-3))^2 + (-10-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14\] \[AC = \sqrt{(1-3)^2 + (3-7)^2 + (-10-(-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56}\]
• Проверим теорему Пифагора для всех возможных вариантов:
  • \(AB^2 = 140, BC^2 = 196, AC^2 = 56\)
  • \(AB^2 + AC^2 = 140 + 56 = 196 = BC^2\)
• Так как выполняется теорема Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным.