Контрольная работа "Теорема Пифагора и начала тригонометрии" Вариант 1 1. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 9 см, ВС = 12 см. Найдите длину гипотенузы АВ. 2. Определите является ли прямоугольным треугольник со сторонами 7, 8 и 11. Ответ обоснуйте. 3. В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом С гипотенуза DE = 13, катет CD = 5. а) Найдите длину катета СЕ. б) Запишите значения синуса, косинуса и тангенса угла D. 4. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) боковая сторона равна 15 см, а основание АС = 18 см. Найдите: а) Высоту ВН, проведенную к основанию. б) Тангенс угла А при основании треугольника. 5. Найдите sin a, если cos a = 2 3

Ответ: 15 см

1. Шаг 1: Применяем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

   \[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

2. Шаг 2: Подставляем известные значения катетов AC = 9 см и BC = 12 см:

   \[AB^2 = 9^2 + 12^2\]

   \[AB^2 = 81 + 144\]

   \[AB^2 = 225\]

3. Шаг 3: Находим длину гипотенузы AB, извлекая квадратный корень из 225:

   \[AB = \sqrt{225}\]

   \[AB = 15 \text{ см}\]

Ответ: 15 см

Ответ: Не является прямоугольным

1. Шаг 1: Проверяем, выполняется ли теорема Пифагора для сторон 7, 8 и 11:

   \[7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\]

   \[11^2 = 121\]

2. Шаг 2: Сравниваем полученные значения:

   \[113
   eq 121\]

3. Шаг 3: Заключение:

   Так как \(7^2 + 8^2
   eq 11^2\), треугольник со сторонами 7, 8 и 11 не является прямоугольным.

Ответ: Не является прямоугольным

Ответ: CE = 12, sin D = 12/13, cos D = 5/13, tan D = 12/5

1. Шаг 1: Находим катет CE, используя теорему Пифагора:

   \[CE = \sqrt{DE^2 - CD^2}\]

   \[CE = \sqrt{13^2 - 5^2}\]

   \[CE = \sqrt{169 - 25}\]

   \[CE = \sqrt{144}\]

   \[CE = 12\]

2. Шаг 2: Находим синус угла D:

   \[\sin D = \frac{CE}{DE} = \frac{12}{13}\]

3. Шаг 3: Находим косинус угла D:

   \[\cos D = \frac{CD}{DE} = \frac{5}{13}\]

4. Шаг 4: Находим тангенс угла D:

   \[\tan D = \frac{CE}{CD} = \frac{12}{5}\]

Ответ: CE = 12, sin D = 12/13, cos D = 5/13, tan D = 12/5

Ответ: BH = 12 см, tan A = 4/3

1. Шаг 1: Находим AH, половину основания AC:

   \[AH = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\]

2. Шаг 2: Находим высоту BH по теореме Пифагора для треугольника ABH:

   \[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2}\]

   \[BH = \sqrt{15^2 - 9^2}\]

   \[BH = \sqrt{225 - 81}\]

   \[BH = \sqrt{144}\]

   \[BH = 12 \text{ см}\]

3. Шаг 3: Находим тангенс угла A:

   \[\tan A = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\]

Ответ: BH = 12 см, tan A = 4/3

Ответ: sin a = √5 / 3

1. Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество:

   \[\sin^2 a + \cos^2 a = 1\]

2. Шаг 2: Подставляем известное значение косинуса:

   \[\sin^2 a + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1\]

   \[\sin^2 a + \frac{4}{9} = 1\]

3. Шаг 3: Выражаем и находим синус:

   \[\sin^2 a = 1 - \frac{4}{9}\]

   \[\sin^2 a = \frac{5}{9}\]

   \[\sin a = \sqrt{\frac{5}{9}}\]

   \[\sin a = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Ответ: sin a = √5 / 3