Контрольная работа Вариант-3 1. Отрезки АВ и СК пересекаются в их середине О. Докажите, что АС||ВК. 2. Отрезок ВК биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АВ в точке М. Найдите углы треугольника ВКМ, если угол АВС равен 50°. Вариант-4 1. Отрезки XY и WZ пересекаются в их середине Т. Докажите, что XW||YZ. 2. Отрезок СР — биссектриса треугольника АВС. Через точку Р проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону ВС в точке Q. Найдите углы треугольника СPQ, если угол АСВ равен 56°.

Решение задач контрольной работы

Вариант 3

Задача 1: Отрезки AB и CK пересекаются в их середине O. Докажите, что AC||BK.

Давай разберем эту задачу. Поскольку O — середина как AB, так и CK, то AO = OB и CO = OK. Рассмотрим треугольники AOC и BOK. У них:

• AO = OB (по условию)
• CO = OK (по условию)
• ∠AOC = ∠BOK (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники AOC и BOK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что ∠ACO = ∠BKO. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AC и BK и секущей CK. Раз накрест лежащие углы равны, то AC||BK.

Задача 2: Отрезок BK — биссектриса треугольника ABC. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая сторону AB в точке M. Найдите углы треугольника BKM, если угол ABC равен 50°.

Сначала найдем угол KBM. Так как BK — биссектриса угла ABC, то ∠KBM = ∠ABC / 2 = 50° / 2 = 25°.

Теперь рассмотрим углы, образованные параллельными прямыми KM и BC. Угол BKM является накрест лежащим с углом KBC при секущей BK. Следовательно, ∠BKM = ∠KBC = 25° (так как BK — биссектриса, и ∠ABC = 50°).

Далее, угол BMK является соответственным углом с углом ABC при секущей AB. Следовательно, ∠BMK = ∠ABC = 50°.

Таким образом, углы треугольника BKM равны:

• ∠KBM = 25°
• ∠BKM = 25°
• ∠BMK = 50°

Вариант 4

Задача 1: Отрезки XY и WZ пересекаются в их середине T. Докажите, что XW||YZ.

Эта задача аналогична первой задаче варианта 3. Поскольку T — середина как XY, так и WZ, то XT = TY и WT = TZ. Рассмотрим треугольники XTW и YTZ. У них:

• XT = TY (по условию)
• WT = TZ (по условию)
• ∠XTW = ∠YTZ (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники XTW и YTZ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что ∠XWT = ∠YZT. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых XW и YZ и секущей WZ. Раз накрест лежащие углы равны, то XW||YZ.

Задача 2: Отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. Через точку P проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону BC в точке Q. Найдите углы треугольника CPQ, если угол ACB равен 56°.

Рассмотрим эту задачу. Так как CP — биссектриса угла ACB, то ∠ACP = ∠PCB = 56° / 2 = 28°.

Угол CQP является соответственным углом с углом ACB при секущей BC. Следовательно, ∠CQP = ∠ACB = 56°.

Угол QPC является накрест лежащим с углом ACP при секущей CP. Следовательно, ∠QPC = ∠ACP = 28°.

Таким образом, углы треугольника CPQ равны:

• ∠PCQ = 28°
• ∠CQP = 56°
• ∠QPC = 28°

Ответ: Решения задач выше

Молодец! Ты отлично справился с решением этих задач. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!