КОНТРОЛЬНАЯ 3 РАБОТА вариант 1 Подобные треугольники. Применение подобия 1. На рис. 171 ∠B = ∠D. Докажите подобие треугольни- ков АВО и CDO. 2. На рис. 172 OA=AB, LA, ZB₁, ОА₁ = 15 см. Найдите ов. 3. Средняя линия равнобедренного треугольника, парал- лельная основанию, равна 3 см, а боковая сторона 5 см. Найдите периметр треугольника. 4. В двух равнобедренных треугольниках углы, проти- воположные основаниям, равны. Основание и высота, проведенная к ней, первого треугольника соответс твенно равны 30 см и 8 см, а боковая сторона второго треугольника 34 см. Найдите периметр второго тре- угольника. 5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, один из которых ра- вен 27 см. Найдите периметр треугольника, если вы- сота равна 36 см.

Задача 1:

Для доказательства подобия треугольников АВО и CDO на рисунке 171 необходимо показать, что у них есть равные углы. Так как ∠B = ∠D (дано), и углы при вершине O вертикальные (а значит, равны), то треугольники АВО и CDO подобны по двум углам.

Задача 2:

К сожалению, для решения задачи 2 недостаточно данных. Нужен рисунок 172, чтобы понять взаимосвязь отрезков и углов.

Задача 3:

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна половине основания. Значит, основание равно 2 * 3 = 6 см. Периметр треугольника равен сумме длин всех сторон: 5 + 5 + 6 = 16 см.

Задача 4:

Пусть первый треугольник ABC (основание AC), второй A₁B₁C₁ (основание A₁C₁). Так как углы, противолежащие основаниям, равны, треугольники подобны. Отношение оснований равно отношению высот: AC / A₁C₁ = 30 / 8 = 15 / 4.

Боковая сторона второго треугольника равна 34 см. Пусть боковая сторона первого треугольника равна x. Тогда x / 34 = 15 / 4, откуда x = (15 * 34) / 4 = 127.5 см. Основание второго треугольника A₁C₁ = (4 * 30) / 15 = 8 см.

Периметр второго треугольника P = 34 + 34 + 8 = 76 см.

Задача 5:

Высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному. Пусть гипотенуза делится на отрезки 27 см и x см. Тогда вся гипотенуза равна 27 + x.

По свойству высоты прямоугольного треугольника: высота^2 = отрезок1 * отрезок2, то есть 36^2 = 27 * x, откуда x = (36 * 36) / 27 = 48 см. Гипотенуза равна 27 + 48 = 75 см.

Чтобы найти катеты, воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть один катет равен a, второй b. Тогда a^2 + b^2 = 75^2. Также, a^2 = 27 * 75 и b^2 = 48 * 75 (по свойству пропорциональности отрезков). Отсюда a = √(27 * 75) = 45 см, b = √(48 * 75) = 60 см.

Периметр треугольника P = 45 + 60 + 75 = 180 см.