Контрольная работа № 5 (задания)

Краткое пояснение:

Вариант 1

1. Дано: ∠BAD = ∠BCD = 90°, ∠ADB = 15°, ∠BDC = 75° (рис. 4.245). Доказать: AD || BC.

   Доказательство:

   • ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 15° + 75° = 90°
   • Сумма углов четырехугольника ABCD равна 360°.
   • ∠ABC = 360° - (∠BAD + ∠BCD + ∠ADC) = 360° - (90° + 90° + 90°) = 90°
   • Так как ∠ADC + ∠BCD = 90° + 90° = 180° и ∠BAD + ∠ABC = 90° + 90° = 180°, то AD || BC (по признаку параллельности прямых).

2. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота BB₁ равна 2 см. Найти: AB.

   Решение:

   • В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (90° + 60°) = 30°.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB₁. В нём ∠ABB₁ = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.
   • Используем свойство: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Тогда BB₁ = 1/2 * AB.
   • AB = 2 * BB₁ = 2 * 2 = 4 см.

3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника.

   Решение:

   • Строим основание.
   • Отмечаем середину основания.
   • Восстанавливаем перпендикуляр из середины основания (высота).
   • Откладываем на перпендикуляре заданную высоту.
   • Соединяем конец высоты с концами основания.

4. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°.

   Решение:

   • Строим развернутый угол (180°).
   • Откладываем от него угол 30° (например, как угол в прямоугольном треугольнике с гипотенузой в два раза больше катета).
   • Оставшийся угол будет равен 150°.

Вариант 2

1. Дано: ∠AOD = 90°, ∠OAD = 70°, ∠OCB = 20° (рис. 4.246). Доказать: AD || BC.

   Для доказательства не хватает данных о взаимном расположении точек и прямых.

2. В треугольнике ABC ∠C = 90°, CC₁ — высота, CC₁ = 5 см, BC = 10 см. Найти: ∠CAB.

   Решение:

   • В прямоугольном треугольнике СС₁В катет CC₁ равен половине гипотенузы ВС.
   • Значит, ∠CВC₁ = 30°.
   • Тогда ∠СС₁В = 90°.
   • ∠CAB = 180° - (90° + 30°) = 60°.

3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к нему из вершины треугольника.

   Решение:

   • Строим основание.
   • Отмечаем середину основания.
   • Строим окружность с центром в середине основания и радиусом, равным длине медианы.
   • Выбираем любую точку на окружности.
   • Соединяем эту точку с концами основания и серединой основания.

4. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 120°.

   Решение:

   • Строим угол 60° (например, как угол в равностороннем треугольнике).
   • Откладываем от него еще один угол 60°.
   • Получаем угол 120°.

Ответ: Решения задач приведены выше.