Контрольные работы Вариант 1 Контрольная работа № 4 ▲ 1. Через середину М стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр МК, равный 6√3 см. Сто- рона квадрата равна 12 см. Вычислите: а) расстояние от точки К до прямой ВС; б) площади треугольника АКВ и его проекции на плос- кость квадрата; ■ в) расстояние между прямыми АК и ВС. • 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD. AC = 13 см, DC = 5 см, АА =12√3 см. Вычислите градус- ную меру двугранного угла ADCA1. Вариант 2 ▲ 1. Через середину Е гипотенузы АВ прямоугольного тре- угольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ, равный 4√5 см. АВ = BC = 16 см, ∠C = 90°. Вычис- лите: а) расстояние от точки М до прямой АС; 6) площади треугольника АСМ и его проекции на плос- кость данного треугольника; ■ в) расстояние между прямыми ЕМ и ВС. • 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD, основание которого квадрат. АС = 6√2 см, АВ₁ = 4√3 см. Вычислите градусную меру двугранного угла В₁ADB.

• Т.к. MK перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то MK перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, AD.
• Т.к. ABCD - квадрат, то AD перпендикулярна BC.
• Из этого следует, что плоскость, проходящая через MK и AD, перпендикулярна BC.
• Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую BC, лежит в этой плоскости и параллелен AD.
• Расстояние от точки K до прямой BC равно расстоянию от точки M до прямой BC, т.е. половине стороны квадрата.

Ответ: 6 см

• Т.к. MK перпендикулярна плоскости квадрата, то AKB - прямоугольный треугольник.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
• Катеты: MK = 6√3 см, KB = √(MB^2 + MK^2) = √(6^2 + (6√3)^2) = √(36 + 108) = √144 = 12 см.
• S(AKB) = 1/2 * MK * KB = 1/2 * 6√3 * 12 = 36√3 см².
• Проекцией треугольника AKB на плоскость квадрата является треугольник AMB.
• S(AMB) = 1/2 * AM * MB = 1/2 * 6 * 12 = 36 см².

Ответ: 36√3 см² и 36 см²

• Т.к. MK перпендикулярна плоскости квадрата, то MK перпендикулярна BC.
• Т.к. AD перпендикулярна BC, то плоскость, проходящая через MK и AD, перпендикулярна BC.
• Расстояние между AK и BC равно расстоянию от точки BC до этой плоскости, т.е. половине стороны квадрата.

Ответ: 6 см

• Т.к. параллелепипед прямоугольный, то AA₁ перпендикулярна плоскости ABCD.
• Из этого следует, что AA₁ перпендикулярна AD и DC.
• Угол между плоскостями ADA₁ и DCA₁ - это угол между AD и DC, т.е. угол ADC.
• Т.к. AC = 13 см, DC = 5 см, то AD = √(AC^2 - DC^2) = √(13^2 - 5^2) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
• cos(ADC) = DC / AC = 5 / 13.
• ADC = arccos(5 / 13) ≈ 67.38°.

Ответ: arccos(5 / 13) ≈ 67.38°

К сожалению, в тексте не указано положение точки M. Если предположить, что M - середина гипотенузы AB, то расстояние от M до AC будет равно половине длины катета BC, т.е. 8 см.

Опять же, если предположить, что M - середина гипотенузы AB, то AM = MB = 8 см. Тогда CM - медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, т.е. CM = 8 см. S(ABC) = 1/2 * AB * BC = 1/2 * 16 * 16 = 128 см². S(ACM) = 1/2 * S(ABC) = 64 см². Проекцией треугольника ACM на плоскость треугольника ABC является сам треугольник ACM.

Т.к. EM перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то EM перпендикулярна BC. Т.к. AB перпендикулярна BC, то плоскость, проходящая через EM и AB, перпендикулярна BC. Расстояние между EM и BC равно расстоянию от точки BC до этой плоскости, т.е. половине длины гипотенузы AB, т.е. 8 см.

Т.к. параллелепипед прямоугольный, то BB₁ перпендикулярна плоскости ABCD. Из этого следует, что BB₁ перпендикулярна AD. Угол между плоскостями ADB₁ и ADB - это угол между B₁D и BD, т.е. угол B₁DB. Т.к. AC = 6√2 см, то AB = BC = 6 см. Тогда BD = √(AB^2 + AD^2) = √(6^2 + 6^2) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 см. Т.к. AB₁ = 4√3 см, то B₁D = √(AB₁^2 + AD^2) = √((4√3)^2 + 6^2) = √(48 + 36) = √84 = 2√21 см. tg(B₁DB) = BB₁ / BD = 4√3 / 6√2 = 2√3 / 3√2 = √6 / 3. B₁DB = arctg(√6 / 3) ≈ 44.42°.