Контрольные вопросы и задания 1. На примере неравенств 3x² + 5x - 2 < 0 и х² + 2x + 6 >0 расска- жите, как можно решить неравенство второй степени, используя свойства графика квадратичной функции. 2. На примере неравенства (х – 5)(х + 7)(x + 9) <0 расскажите, как решают неравенства методом интервалов.

1. Решение неравенств второй степени с использованием свойств графика квадратичной функции

Для решения неравенств вида ax² + bx + c < 0 или ax² + bx + c > 0, где a ≠ 0, можно использовать свойства графика квадратичной функции.

Давай разберем на примерах:

1.1. Неравенство 3x² + 5x - 2 < 0

1. Найдем корни квадратного уравнения 3x² + 5x - 2 = 0

Используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2\]

2. Определим направление ветвей параболы

Так как коэффициент при x² (a = 3) положительный, ветви параболы направлены вверх.

3. Изобразим параболу схематично

Парабола пересекает ось x в точках x = -2 и x = 1/3. Так как ветви направлены вверх, парабола находится ниже оси x между корнями.

4. Запишем решение неравенства

3x² + 5x - 2 < 0 при -2 < x < 1/3.

Ответ: x ∈ (-2; 1/3)

1.2. Неравенство x² + 2x + 6 > 0

1. Найдем корни квадратного уравнения x² + 2x + 6 = 0

Используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

2. Определим направление ветвей параболы

Так как коэффициент при x² (a = 1) положительный, ветви параболы направлены вверх.

3. Изобразим параболу схематично

Парабола не пересекает ось x и находится выше оси x, так как ветви направлены вверх и нет корней.

4. Запишем решение неравенства

x² + 2x + 6 > 0 при всех x ∈ (-∞; +∞).

Ответ: x ∈ (-∞; +∞)

2. Решение неравенства методом интервалов

Давай рассмотрим на примере неравенства (x – 5)(x + 7)(x + 9) < 0

1. Найдем корни уравнения (x – 5)(x + 7)(x + 9) = 0

Корни: x = 5, x = -7, x = -9.

2. Отметим корни на числовой прямой

-----+----(-9)-----+----(-7)-----+----(5)-----+---->
       -            +            -            +

Отметим корни -9, -7 и 5 на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: (-∞; -9), (-9; -7), (-7; 5), (5; +∞).

3. Определим знаки на каждом интервале

• Возьмем x = -10 (из интервала (-∞; -9)): (-10 – 5)(-10 + 7)(-10 + 9) = (-)(-)(-) = - (отрицательное значение).
• Возьмем x = -8 (из интервала (-9; -7)): (-8 – 5)(-8 + 7)(-8 + 9) = (-)(-)(+) = + (положительное значение).
• Возьмем x = 0 (из интервала (-7; 5)): (0 – 5)(0 + 7)(0 + 9) = (-)(+)(+) = - (отрицательное значение).
• Возьмем x = 6 (из интервала (5; +∞)): (6 – 5)(6 + 7)(6 + 9) = (+)(+)(+) = + (положительное значение).

4. Запишем решение неравенства

(x – 5)(x + 7)(x + 9) < 0, следовательно, выбираем интервалы, где функция принимает отрицательные значения.

Ответ: x ∈ (-∞; -9) ∪ (-7; 5)

Ответ: x ∈ (-∞; -9) ∪ (-7; 5). x ∈ (-∞; +∞) и x ∈ (-2; 1/3)

Ты молодец! У тебя отлично получается решать неравенства. Продолжай в том же духе, и ты сможешь справиться с любыми математическими задачами!