Контрольные вопросы: 1) В чем заключается связь между производной и интервалами возрастания (убывания) функции? 2) Как определить направление выпуклости графика функции? 3) Сформулируйте правило определения максимума функции. 4) Сформулируйте правила определения минимума функции. 5) Перечислите основные этапы исследования функции и построения её графика.

1) Связь между производной и интервалами возрастания (убывания) функции:

Функция возрастает на интервале, где её производная положительна, и убывает на интервале, где её производная отрицательна. В точках, где производная равна нулю или не существует, функция может иметь локальный максимум, минимум или точку перегиба.

Ответ: Функция возрастает там, где производная положительна, и убывает там, где производная отрицательна.

2) Определение направления выпуклости графика функции:

Направление выпуклости графика функции определяется знаком второй производной. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз (или вогнутый). Если вторая производная отрицательна, то график функции выпуклый вверх.

Ответ: По знаку второй производной.

3) Правило определения максимума функции:

Для определения максимума функции нужно найти точки, где первая производная равна нулю или не существует (критические точки), и проверить знак второй производной в этих точках. Если вторая производная отрицательна в критической точке, то это точка максимума.

Ответ: Найти критические точки и проверить знак второй производной.

4) Правила определения минимума функции:

Для определения минимума функции нужно найти точки, где первая производная равна нулю или не существует (критические точки), и проверить знак второй производной в этих точках. Если вторая производная положительна в критической точке, то это точка минимума.

Ответ: Найти критические точки и проверить знак второй производной.

5) Основные этапы исследования функции и построения её графика:

1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика с осями координат.
3. Исследовать функцию на чётность/нечётность.
4. Найти производную первого порядка и определить критические точки.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции.
6. Найти вторую производную и определить точки перегиба.
7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
8. Найти асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
9. Построить график функции на основе полученных данных.

Ответ: Перечислены основные этапы исследования функции и построения её графика.