Контрольные задания > Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 3 1. Решите уравнение 4х2 + 12x = 0. 2. Решите уравнение 4x2 – 25 = 0. 3. Решите уравнение х² – 7x + 6 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 2x + 5 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 8 больше другого, равно 153. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь 12 см³. Найдите длины сторон прямоугольника. Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 4 1. Решите уравнение 6х4 + 18х = 0. 2. Решите уравнение 4x3 – 9 = 0. 3. Решите уравнение х²- 10x + 9 = 0. 4. Решите уравнение 3x²+ 6x + 5 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника ранен 20 см, а его площадь – 24 см. Найлите длины сторон прямоугольника

Вариант 3 1. Решим уравнение 4x² + 12x = 0: \[4x^2 + 12x = 0\] Вынесем общий множитель 4x за скобки: \[4x(x + 3) = 0\] Отсюда либо 4x = 0, либо x + 3 = 0. Если 4x = 0, то x = 0. Если x + 3 = 0, то x = -3. Итак, корни уравнения: x = 0 и x = -3. 2. Решим уравнение 4x² - 25 = 0: \[4x^2 - 25 = 0\] Это разность квадратов: (2x)² - 5² = 0. \[(2x - 5)(2x + 5) = 0\] Отсюда либо 2x - 5 = 0, либо 2x + 5 = 0. Если 2x - 5 = 0, то 2x = 5, x = 2.5. Если 2x + 5 = 0, то 2x = -5, x = -2.5. Итак, корни уравнения: x = 2.5 и x = -2.5. 3. Решим уравнение x² - 7x + 6 = 0: \[x^2 - 7x + 6 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * 6 = 49 - 24 = 25. Так как D > 0, уравнение имеет два корня. \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Итак, корни уравнения: x = 6 и x = 1. 4. Решим уравнение 3x² + 2x + 5 = 0: \[3x^2 + 2x + 5 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 2² - 4 * 3 * 5 = 4 - 60 = -56. Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 8 больше другого, равно 153. Найдите эти числа. Пусть x - первое число, тогда x + 8 - второе число. Их произведение равно 153: \[x(x + 8) = 153\] \[x^2 + 8x - 153 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 8² - 4 * 1 * (-153) = 64 + 612 = 676. Так как D > 0, уравнение имеет два корня. \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{676}}{2 * 1} = \frac{-8 + 26}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{676}}{2 * 1} = \frac{-8 - 26}{2} = \frac{-34}{2} = -17\] Так как числа натуральные, x = 9. Тогда второе число x + 8 = 9 + 8 = 17. Итак, числа: 9 и 17. 6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь -- 12 см³. Найдите длины сторон прямоугольника. Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: \[2(a + b) = 16\] \[a \cdot b = 12\] Из первого уравнения выразим a + b = 8, тогда a = 8 - b. Подставим во второе уравнение: \[(8 - b) \cdot b = 12\] \[8b - b^2 = 12\] \[b^2 - 8b + 12 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16. Так как D > 0, уравнение имеет два корня. \[b_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[b_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2\] Если b = 6, то a = 8 - 6 = 2. Если b = 2, то a = 8 - 2 = 6. Итак, стороны прямоугольника: 6 см и 2 см. Вариант 4 1. Решим уравнение 6x⁴ + 18x = 0: \[6x^4 + 18x = 0\] Вынесем общий множитель 6x за скобки: \[6x(x^3 + 3) = 0\] Отсюда либо 6x = 0, либо x³ + 3 = 0. Если 6x = 0, то x = 0. Если x³ + 3 = 0, то x³ = -3, x = \(\sqrt[3]{-3}\). Итак, корни уравнения: x = 0 и x = \(\sqrt[3]{-3}\). 2. Решим уравнение 4x³ - 9 = 0: \[4x^3 - 9 = 0\] \[4x^3 = 9\] \[x^3 = \frac{9}{4}\] \[x = \sqrt[3]{\frac{9}{4}}\] Итак, корень уравнения: x = \(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\) \(\approx 1.31\). 3. Решим уравнение x² - 10x + 9 = 0: \[x^2 - 10x + 9 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64. Так как D > 0, уравнение имеет два корня. \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Итак, корни уравнения: x = 9 и x = 1. 4. Решим уравнение 3x² + 6x + 5 = 0: \[3x^2 + 6x + 5 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 6² - 4 * 3 * 5 = 36 - 60 = -24. Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа. Пусть x - первое число, тогда x + 7 - второе число. Их произведение равно 144: \[x(x + 7) = 144\] \[x^2 + 7x - 144 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 7² - 4 * 1 * (-144) = 49 + 576 = 625. Так как D > 0, уравнение имеет два корня. \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{625}}{2 * 1} = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{625}}{2 * 1} = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16\] Так как числа натуральные, x = 9. Тогда второе число x + 7 = 9 + 7 = 16. Итак, числа: 9 и 16. 6. Периметр прямоугольника ранен 20 см, а его площадь – 24 см. Найлите длины сторон прямоугольника Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: \[2(a + b) = 20\] \[a \cdot b = 24\] Из первого уравнения выразим a + b = 10, тогда a = 10 - b. Подставим во второе уравнение: \[(10 - b) \cdot b = 24\] \[10b - b^2 = 24\] \[b^2 - 10b + 24 = 0\] Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 1 * 24 = 100 - 96 = 4. Так как D > 0, уравнение имеет два корня. \[b_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[b_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Если b = 6, то a = 10 - 6 = 4. Если b = 4, то a = 10 - 4 = 6. Итак, стороны прямоугольника: 6 см и 4 см.

Ответ: Вариант 3: 1) x = 0 и x = -3; 2) x = 2.5 и x = -2.5; 3) x = 6 и x = 1; 4) нет действительных корней; 5) 9 и 17; 6) 6 см и 2 см. Вариант 4: 1) x = 0 и x = \(\sqrt[3]{-3}\); 2) x = \(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\) \(\approx 1.31\); 3) x = 9 и x = 1; 4) нет действительных корней; 5) 9 и 16; 6) 6 см и 4 см.