9.1. Концы хорды делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3: 1. Через один из концов хорды проведена касательная к данной окружности. Найдите острый угол между этой касательной и данной хордой.

Обозначим концы хорды точками A и B. Пусть градусная мера меньшей дуги равна x, тогда градусная мера большей дуги равна 3x. Так как сумма градусных мер двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна 360°, то составим уравнение:

$$x + 3x = 360$$

$$4x = 360$$

$$x = 90$$

Таким образом, меньшая дуга AB имеет градусную меру 90°, а большая дуга имеет градусную меру 270°.

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними. В данном случае, угол между касательной и хордой AB опирается на дугу AB, градусная мера которой равна 90°.

Следовательно, острый угол между касательной и хордой равен:

$$\frac{90}{2} = 45$$

Ответ: 45°

Ответ: 45