Концы отрезка АВ лежат в двух параллельных плоскос- тях. Найдите длину отрез- ка АВ, если он образует со своей проекцией на одну из данных плоскостей угол 45°, а расстояние между данными плоскостями равно 4√2 дм.

Пусть отрезок АВ образует угол 45° с плоскостью α.

Расстояние между плоскостями равно длине перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость α. Обозначим этот перпендикуляр АН, тогда АН = 4√2 дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН, в котором ∠АНВ = 90° и ∠АВН = 45°.

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$$ sin(∠ABH) = \frac{AH}{AB} $$

Выразим длину отрезка АВ:

$$ AB = \frac{AH}{sin(∠ABH)} $$

Подставим известные значения:

$$ AB = \frac{4\sqrt{2}}{sin(45^\circ)} $$

Т.к. sin(45°) = √2/2, то

$$ AB = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 8 \text{ дм} $$

Ответ: 8 дм