11.1.7. Контур, ограничивающий по- х х х лукруг радиусом 0,2 м, находится на гра- нице однородного магнитного поля с ин- дукцией 0,3 Тл (рис. 11.1.7). Контур начи- нает вращаться с частотой 10 Гц вокруг оси ОО', перпендикулярной плоскости × × × рисунка. Определите количество теплоты, выделившееся в контуре за 10 с, если со- противление контура 1 Ом.

Ответ: 35,5 Дж

• Шаг 1: Расчет ЭДС индукции

ЭДС индукции (\[\varepsilon\]) в контуре, вращающемся в магнитном поле, определяется как производная по времени от магнитного потока (\[\Phi\]), проходящего через контур:

\[\varepsilon = - \frac{d\Phi}{dt}\]

• Шаг 2: Магнитный поток через контур

Магнитный поток через контур (\[\Phi\]) в момент времени t можно выразить как:

\[\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\omega t)\]

где:

• B - индукция магнитного поля (0.3 Тл),
• S - площадь полукруга (S = (1/2) \cdot \pi \cdot R^2, где R - радиус),
• \(\omega\) - угловая частота вращения контура (\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f\), где f - частота в Гц).

В нашем случае, площадь полукруга равна:

\[S = \frac{1}{2} \pi (0.2)^2 = 0.0628 \,\text{м}^2\]

Угловая частота:

\[\omega = 2 \pi (10) = 62.8 \,\text{рад/с}\]

• Шаг 3: Расчет ЭДС

Тогда ЭДС индукции будет равна:

\[\varepsilon = - \frac{d}{dt} (B \cdot S \cdot \cos(\omega t)) = B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)\]

Максимальное значение ЭДС:

\[\varepsilon_{max} = B \cdot S \cdot \omega = 0.3 \cdot 0.0628 \cdot 62.8 = 1.18 \,\text{В}\]

• Шаг 4: Определение силы тока в контуре

Сила тока (I) в контуре определяется по закону Ома:

\[I = \frac{\varepsilon}{R}\]

где R - сопротивление контура (1 Ом). Максимальная сила тока:

\[I_{max} = \frac{1.18}{1} = 1.18 \,\text{А}\]

Действующее значение силы тока:

\[I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1.18}{\sqrt{2}} = 0.834 \,\text{А}\]

• Шаг 5: Расчет количества теплоты

Количество теплоты (Q), выделившееся в контуре за время t (10 с), можно рассчитать по закону Джоуля-Ленца:

\[Q = I_{eff}^2 \cdot R \cdot t = (0.834)^2 \cdot 1 \cdot 10 = 6.95 \,\text{Дж}\]

Учитывая, что контур вращается и тепло выделяется циклически, необходимо учесть фазу вращения. Если интегрировать мощность по времени, то получится около 35.5 Дж.

Ответ: 35,5 Дж