Координаты точки и координаты вектора. Вариант 2.

Задание 1

Это задание на построение точек в трехмерном пространстве. Чтобы его выполнить, нужно от руки начертить систему координат и отметить точки согласно их координатам.

Задание 2

Чтобы определить, какие точки принадлежат осям или плоскостям, нужно проверить их координаты:

• Ось Ox: координаты y и z должны быть равны 0.
• Ось Oy: координаты x и z должны быть равны 0.
• Плоскость Oyz: координата x должна быть равна 0.
• Плоскость Oxz: координата y должна быть равна 0.

Проверяем точки:

• A(0,-1,0): y=-1, z=0. Принадлежит оси Oy (x=0, z=0).
• B(0,1,-3): x=0, z=-3. Принадлежит плоскости Oyz (x=0).
• C(4,0,0): x=4, y=0, z=0. Принадлежит оси Ox (y=0, z=0).
• D(0,0,-5): x=0, y=0, z=-5. Принадлежит оси Oz (x=0, y=0).
• E(-1,0,7): x=-1, y=0, z=7. Принадлежит плоскости Oxz (y=0).
• F(0,10,10): x=0, y=10, z=10. Принадлежит плоскости Oyz (x=0).

Ответ:

• а) оси Ox: C(4,0,0)
• б) оси Oy: A(0,-1,0)
• в) плоскости Oyz: B(0,1,-3), F(0,10,10)
• г) плоскости Oxz: E(-1,0,7)

Задание 3

Координаты вектора задаются его компонентами. Если вектор задан через i, j, k, то его координаты — это коэффициенты при этих векторах.

• a) Если d = 3i – 4j + 2k, то координаты вектора d равны (3, -4, 2).
• б) Если s = -2i – 3k, то координаты вектора s равны (-2, 0, -3). (Коэффициент при j равен 0).
• в) Чтобы найти координаты вектора m = 2a - 3b, сначала умножаем координаты векторов a и b на скаляры, а затем вычитаем:
  • $$2a = 2 \times (-2; 4; -3) = (-4; 8; -6)$$
  • $$3b = 3 \times (0; 1; -2) = (0; 3; -6)$$
  • $$m = 2a - 3b = (-4; 8; -6) - (0; 3; -6) = (-4 - 0; 8 - 3; -6 - (-6)) = (-4; 5; 0)$$

  Ответ:

  • a) d(3, -4, 2)
  • б) s(-2, 0, -3)
  • в) m(-4, 5, 0)

Задание 4

Длина вектора вычисляется по формуле: $$| \boldsymbol{v} | = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} }$$

• a) Найдем длину вектора b(0,-3,2):
• $$|b| = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2}}} = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{0 + 9 + 4}}} = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{13}}}$$
• б) Найдем координаты вектора MN, а затем его длину.
• Координаты вектора MN: $$N - M = (2 - 0; 0 - (-5); -8 - 1) = (2; 5; -9)$$
• Длина вектора MN:
• $$|MN| = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{2^2 + 5^2 + (-9)^2}}} = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{4 + 25 + 81}}} = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{110}}}$$

Ответ:

• a) $$|b| = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{13}}}$$
• б) $$|MN| = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{110}}}$$

Задание 5

Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов.

Для отрезка GH с концами G(3,-2,4) и H(5,2,-6):

• $$x_{середины} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
• $$y_{середины} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$$
• $$z_{середины} = \frac{4 + (-6)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Ответ: Координаты середины отрезка GH равны (4, 0, -1).