Координаты (x;y) точки минимума функции равны... Пример ввода ответа (-3;2,5)

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 \), необходимо найти первую и вторую производные функции.

1. Найдем первую производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 2) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Разделим уравнение на 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).
3. Найдем вторую производную: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 \]
4. Проверим знаки второй производной в критических точках:
   • При \( x = 1 \): \( f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \). Так как \( f''(1) < 0 \), то в точке \( x = 1 \) функция имеет локальный максимум.
   • При \( x = 3 \): \( f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \). Так как \( f''(3) > 0 \), то в точке \( x = 3 \) функция имеет локальный минимум.
5. Найдем значение функции в точке минимума \( x = 3 \): \[ f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 2 = 27 - 6(9) + 27 - 2 = 27 - 54 + 27 - 2 = -2 \]

Таким образом, координаты точки минимума функции — \( (3; -2) \).

Ответ: (3;-2)