Корнем квадратного уравнения 2x² +3√2 х+с=0 является число √2-1. Найдите второй корень данного уравнения.

Решение:

Пусть дан квадратный трехчлен \(2x^2 + 3\sqrt{2}x + c = 0\). Известно, что один из корней равен \(\sqrt{2} - 1\). Нам нужно найти второй корень.

Шаг 1: Подставим известный корень в уравнение:

Подставим \(x = \sqrt{2} - 1\) в уравнение:

\[2(\sqrt{2} - 1)^2 + 3\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) + c = 0\]

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим выражение:

\[2(2 - 2\sqrt{2} + 1) + 3(2 - \sqrt{2}) + c = 0\] \[2(3 - 2\sqrt{2}) + 6 - 3\sqrt{2} + c = 0\] \[6 - 4\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{2} + c = 0\] \[12 - 7\sqrt{2} + c = 0\]

Шаг 3: Найдем коэффициент c:

Выразим c из уравнения:

\[c = 7\sqrt{2} - 12\]

Шаг 4: Запишем уравнение с найденным коэффициентом c:

Теперь уравнение имеет вид:

\[2x^2 + 3\sqrt{2}x + 7\sqrt{2} - 12 = 0\]

Шаг 5: Используем теорему Виета для нахождения второго корня:

Пусть \(x_1 = \sqrt{2} - 1\) и \(x_2\) — второй корень. По теореме Виета:

Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), где a = 2, b = 3\sqrt{2}\)

\[\sqrt{2} - 1 + x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 6: Выразим и найдем второй корень:

\[x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} + 1\] \[x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} + 1\] \[x_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + 1\]

Таким образом, второй корень равен \(1 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \(1 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\)