Корни x₁ и x₂ уравнения nx² - 6x + 1 = 0 связаны соотношением x₁⁻² + x₂⁻² = 26. Найдите n.

Решение:

Дано квадратное уравнение \( nx^2 - 6x + 1 = 0 \).

По теореме Виета для этого уравнения:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-6}{n} = \frac{6}{n} \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{n} \)

Дано соотношение между корнями:

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = 26 \)

Преобразуем данное соотношение:

\( \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = 26 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = 26 \)

Заметим, что \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \) и \( x_1^2 x_2^2 = (x_1 x_2)^2 \).

Подставим это в уравнение:

\( \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2} = 26 \)

Теперь подставим значения суммы и произведения корней:

\( \frac{\left(\frac{6}{n}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{1}{n}\right)^2} = 26 \)

Упростим выражение:

\( \frac{\frac{36}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}} = 26 \)

Умножим числитель и знаменатель на \( n^2 \):

\( 36 - 2n = 26 \)

Решим полученное линейное уравнение:

\( -2n = 26 - 36 \)

\( -2n = -10 \)

\( n = \frac{-10}{-2} \)

\( n = 5 \)

Для того чтобы корни существовали, дискриминант должен быть больше нуля. Дискриминант уравнения \( nx^2 - 6x + 1 = 0 \) равен \( D = (-6)^2 - 4 n 1 = 36 - 4n \).

При \( n = 5 \), \( D = 36 - 4 5 = 36 - 20 = 16 > 0 \). Также, \( n \) не должно быть равно нулю, что выполняется.

Ответ: 5