11) Костя нарисовал правильный треугольник и провёл в нём все три высоты и все три средние линии. Какое наименьшее число раз при этом он мог отрывать ка- рандаш от листа бумаги, если он не проводил дважды ни по одной из линий?

Для решения этой задачи нужно понять, как оптимально нарисовать правильный треугольник, все три его высоты и все три средние линии, не проводя дважды ни по одной из линий и минимизируя отрыв карандаша от бумаги.

1. Нарисуем контур треугольника (3 стороны) - 1 раз.

2. Нарисуем первую высоту. Она соединит вершину с противоположной стороной. - 1 раз.

3. Нарисуем вторую высоту. - 1 раз.

4. Нарисуем третью высоту. - 1 раз.

Теперь нужно нарисовать средние линии. Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника.

5. Нарисуем первую среднюю линию. - 1 раз.

6. Нарисуем вторую среднюю линию. - 1 раз.

7. Нарисуем третью среднюю линию. - 1 раз.

Сложим все отрывы карандаша: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

Однако можно нарисовать более оптимально:

1. Нарисовать треугольник - 1 раз.

2. Нарисовать первую высоту. - 1 раз.

3. Нарисовать вторую высоту. - 1 раз.

4. Нарисовать третью высоту. - 1 раз.

Теперь нужно провести средние линии:

5. Начнем рисовать первую среднюю линию, дойдя до стороны треугольника, не отрывая карандаш, продолжим рисовать сторону треугольника. - 0 раз отрыва (так как уже рисуем сторону треугольника).

6. Аналогично и для второй средней линии. - 0 раз отрыва.

7. Аналогично и для третьей средней линии. - 0 раз отрыва.

Итого: 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 4

Теперь посмотрим, можно ли еще уменьшить количество отрывов:

1. Рисуем треугольник. - 1 отрыв.

2. Рисуем одну высоту. - 1 отрыв.

3. Не отрывая карандаша, рисуем среднюю линию, соединяя середины сторон и доходим до вершины треугольника. - 0 отрывов.

4. Рисуем вторую высоту из этой вершины. - 0 отрывов.

5. Рисуем вторую среднюю линию, соединяя середины сторон и доходим до вершины треугольника. - 0 отрывов.

6. Рисуем третью высоту из этой вершины. - 0 отрывов.

7. Рисуем третью среднюю линию, соединяя середины сторон, завершая рисунок. - 0 отрывов.

Итого получается 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2 отрыва. Но такое невозможно, так как нужно нарисовать три высоты и три средние линии.

1. Рисуем треугольник (1)

2. Рисуем первую высоту (1)

3. Рисуем вторую высоту (1)

4. Рисуем третью высоту (1)

Теперь нужно нарисовать три средние линии. Заметим, что каждая средняя линия является частью треугольника, поэтому можно не отрывать карандаш. Таким образом 1+1+1+1 = 4

Наименьшее число раз, которое Костя мог оторвать карандаш от листа бумаги, равно 4.

Ответ: 4