K-P.5 B-1. 1. Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство x ≥ \frac{5x}{2+x} ? 2 К графику функции f(x)=x⁵-6x³ проведена касательная через точку с абсциссой X₀=1. Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. 3. На рисунке изображены эскиз графика функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X₀. Найдите значение производной у функции f(x) в точке хо.

Задание 1

Для решения неравенства необходимо привести его к виду, удобному для анализа.

1. Перенесем все члены в одну сторону: \[x - \frac{5x}{2+x} ≥ 0\]
2. Приведем к общему знаменателю: \[\frac{x(2+x) - 5x}{2+x} ≥ 0\]
3. Упростим числитель: \[\frac{x^2 - 3x}{2+x} ≥ 0\]
4. Вынесем x за скобки: \[\frac{x(x - 3)}{2+x} ≥ 0\]

Теперь нужно определить знаки выражения на различных интервалах числовой прямой. Корни числителя: x = 0 и x = 3. Корень знаменателя: x = -2.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+        -        +        -
----(-2)----(0)----(3)---->
  

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Таким образом, решения неравенства: \[x ∈ (-∞, -2) ∪ [0, 3]\] Нам нужны целые отрицательные решения. В интервале (-∞, -2) целые числа меньше -2. Таким образом, целые отрицательные решения: -3, -4, -5 и так далее. Однако, нужно учитывать, что при x = -2 знаменатель обращается в ноль, поэтому x = -2 не является решением. Таким образом, целых отрицательных решений бесконечно много.

Ответ: бесконечно много

Задание 2

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в заданной точке, нужно вычислить производную функции в этой точке.

1. Найдем производную функции f(x) = x⁵ - 6x³: \[f'(x) = 5x^4 - 18x^2\]
2. Вычислим значение производной в точке x₀ = 1: \[f'(1) = 5(1)^4 - 18(1)^2 = 5 - 18 = -13\] Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания.

Ответ: -13

Задание 3

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Нужно найти значение производной функции f(x) в точке x₀. Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла наклона касательной.

На графике видно, что касательная убывает, значит, её угловой коэффициент отрицателен. Также, можно заметить, что касательная проходит через точки (0, 2) и (1, 1). Следовательно, изменение y равно -1, а изменение x равно 1. Таким образом, угловой коэффициент касательной равен -1/1 = -1.

Ответ: -1