KP no mene loraрифмы Вариант 4 1) Burücüme: logor (0.1)5 2) - lg v 3) -11- : logo... 10 V1000 15-3: 4) Найдите значение числового виражения: 5-2 вад; 3. 5) langume x по данному его логарифму. 6) lg x = lg 18 + lg 125. 2 -"-: ly x = 1/2 lg 5 + log vs + 4 ly 25. 7) Сравните значения выражений logs (15-4) log 154 in logis logos 15 - log 154 3 LL 8) Реишите уравнений: lg (x² - 8) = log(2-9x) 9) -11- : loga,y (x+2) + logan (x+3) = Logo,n. (1-x) 10) Решите неравенстbo: log v2 (x²+10x) ≥ lögrz (X-14) 2

Математика, 10 класс

Давай разберем эти задания по порядку.

1) Вычислите: \(\log_{0.1} (0.1)^5\)

Используем свойство логарифма: \(\log_a a^b = b\).

Тогда, \(\log_{0.1} (0.1)^5 = 5\).

Ответ: 5

2) Вычислите: \(\lg \frac{1}{\sqrt{10}}\)

Преобразуем выражение: \(\frac{1}{\sqrt{10}} = 10^{-\frac{1}{2}}\) и используем определение десятичного логарифма.

Тогда, \(\lg \frac{1}{\sqrt{10}} = \lg 10^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}\).

Ответ: -0.5

3) Вычислите: \(\log_{0.1} 10 \sqrt{1000}\)

Представим все числа как степени 10: \(10 = 10^1, \sqrt{1000} = 10^{\frac{3}{2}}\) и \(0.1 = 10^{-1}\).

Тогда, \(\log_{0.1} 10 \sqrt{1000} = \log_{10^{-1}} (10^1 \cdot 10^{\frac{3}{2}}) = \log_{10^{-1}} 10^{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{-1} = -\frac{5}{2} = -2.5\).

Ответ: -2.5

4) Найдите значение числового выражения: \(5^{-2 \log_5 3}\)

Используем свойство логарифма: \(a^{\log_a b} = b\).

Преобразуем выражение: \(5^{-2 \log_5 3} = 5^{\log_5 3^{-2}} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).

Ответ: 1/9

5) Найдите x по данному его логарифму: \(\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}\)

Используем свойство логарифма: \(\lg a + \lg b = \lg (a \cdot b)\).

Тогда, \(\lg x = \lg (\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125}) = \lg \frac{1}{1000}\).

Следовательно, \(x = \frac{1}{1000} = 0.001\).

Ответ: 0.001

6) Найдите x по данному его логарифму: \(\lg x = \frac{1}{2} \lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} \lg 25\)

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

\(\lg x = \lg 5^{\frac{1}{2}} + \lg \sqrt{5} + \lg 25^{\frac{1}{4}} = \lg \sqrt{5} + \lg \sqrt{5} + \lg \sqrt{5} = 3 \lg \sqrt{5} = \lg (\sqrt{5})^3 = \lg 5\sqrt{5}\)

Следовательно, \(x = 5\sqrt{5}\).

Ответ: 5√5

7) Сравните значения выражений: \(\log_{\sqrt{3}} 15 - \log_{\sqrt{3}} 4 \) и \(\log_{\sqrt{3}} (15-4)\)

Упростим первое выражение:

\(\log_{\sqrt{3}} 15 - \log_{\sqrt{3}} 4 = \log_{\sqrt{3}} \frac{15}{4}\)

Упростим второе выражение:

\(\log_{\sqrt{3}} (15-4) = \log_{\sqrt{3}} 11\)

Сравним \(\frac{15}{4} = 3.75\) и \(11\).

Так как \(11 > 3.75\), то \(\log_{\sqrt{3}} 11 > \log_{\sqrt{3}} \frac{15}{4}\).

Следовательно, \(\log_{\sqrt{3}} (15-4) > \log_{\sqrt{3}} 15 - \log_{\sqrt{3}} 4\).

Ответ: log√3 (15-4) > log√3 15 - log√3 4

8) Решите уравнение: \(\lg (x^2 - 8) = \lg (2-9x)\)

Так как логарифмы равны, то равны и их аргументы:

\(x^2 - 8 = 2 - 9x\)

\(x^2 + 9x - 10 = 0\)

По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -9\) и \(x_1 \cdot x_2 = -10\).

Тогда, \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -10\).

Проверим корни: \(x = 1\) → \(1^2 - 8 = -7\) (не подходит, так как под логарифмом должно быть положительное число).

\(x = -10\) → \((-10)^2 - 8 = 92\) и \(2 - 9(-10) = 92\) (подходит).

Ответ: -10

9) Решите уравнение: \(\log_{0.4} (x+2) + \log_{0.4} (x+3) = \log_{0.4} (1-x)\)

Используем свойство логарифма: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\).

Тогда, \(\log_{0.4} ((x+2)(x+3)) = \log_{0.4} (1-x)\).

\((x+2)(x+3) = 1-x\)

\(x^2 + 5x + 6 = 1 - x\)

\(x^2 + 6x + 5 = 0\)

По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -6\) и \(x_1 \cdot x_2 = 5\).

Тогда, \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -5\).

Проверим корни: \(x = -1\) → \(-1 + 2 = 1 > 0\), \(-1 + 3 = 2 > 0\), \(1 - (-1) = 2 > 0\) (подходит).

\(x = -5\) → \(-5 + 2 = -3 < 0\) (не подходит, так как под логарифмом должно быть положительное число).

Ответ: -1

10) Решите неравенство: \(\log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10x) \ge \log_{\sqrt{2}} (x-14)\)

Так как основание логарифма \(\sqrt{2} > 1\), то знак неравенства сохраняется:

\(x^2 + 10x \ge x - 14\)

\(x^2 + 9x + 14 \ge 0\)

\((x+2)(x+7) \ge 0\)

Решим методом интервалов: корни \(x = -2\) и \(x = -7\).

Проверим знаки на интервалах: \((-\infty, -7], [-7, -2], [-2, +\infty)\).

Так же необходимо учесть, что \(x^2 + 10x > 0\) и \(x-14 > 0\).

\(x(x+10) > 0\) → \(x < -10\) или \(x > 0\).

\(x - 14 > 0\) → \(x > 14\).

Тогда, решением неравенства является: \(x \in (14, +\infty)\).

Ответ: (14, +∞)