К.Р. № 4 Вариант - 9 1. Найдите производную функции 13 a) f(x) = x²+x²+2x; 3 6) g(x) = 4sin 3x; 2-3x B) f(x) = x+2 2. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² + 5. Найдите ее скорость в момент времени t = 3 с (координата x(t) измеряется в сантиметрах, время t в секундах). 2 = 1. 3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 1 в точке с абсциссой хо 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² - 8х2 – 9 на промежутке [-1;1]. 5. Исследуйте функцию f(x) = x³-3x² +9 и постройте ее график.

Привет! Давай вместе решим эту контрольную работу. Здесь много интересных задач, и я уверена, что у тебя всё получится!

1. Найдите производную функции

а) \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 2x \)

Чтобы найти производную этой функции, нужно применить правило дифференцирования суммы и правило степени. Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \). Давай найдем производную каждого слагаемого:

• Производная \( \frac{1}{3}x^3 \) равна \( \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2 \)
• Производная \( x^2 \) равна \( 2x \)
• Производная \( 2x \) равна \( 2 \)

Следовательно, производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = x^2 + 2x + 2 \]

б) \( g(x) = 4\sin(3x) \)

Для нахождения производной этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Производная \( \sin(u) \) равна \( \cos(u) \cdot u' \). В нашем случае \( u = 3x \), поэтому:

• Производная \( 4\sin(3x) \) равна \( 4 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 12\cos(3x) \)

Следовательно, производная функции \( g(x) \) равна:

\[ g'(x) = 12\cos(3x) \]

в) \( f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2} \)

Здесь нам понадобится правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). В нашем случае \( u = 2 - 3x \) и \( v = x + 2 \). Тогда:

• Производная \( u' = -3 \)
• Производная \( v' = 1 \)

Применим формулу:

\[ f'(x) = \frac{-3(x + 2) - (2 - 3x) \cdot 1}{(x + 2)^2} \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ f'(x) = \frac{-3x - 6 - 2 + 3x}{(x + 2)^2} = \frac{-8}{(x + 2)^2} \]

Следовательно, производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = \frac{-8}{(x + 2)^2} \]

2. Точка движется прямолинейно по закону \( x(t) = t^2 + 5 \). Найдите ее скорость в момент времени \( t = 3 \) с.

Скорость — это производная координаты по времени. Найдем производную \( x(t) \):

\[ x'(t) = 2t \]

Теперь найдем скорость в момент времени \( t = 3 \) с:

\[ v(3) = 2 \cdot 3 = 6 \]

Следовательно, скорость точки в момент времени \( t = 3 \) с равна 6 см/с.

3. Напишите уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^2 + 1 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \).

Уравнение касательной имеет вид \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \). Сначала найдем \( f(x_0) \) и \( f'(x_0) \):

• \( f(1) = 1^2 + 1 = 2 \)
• \( f'(x) = 2x \)
• \( f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \)

Теперь подставим в уравнение касательной:

\[ y = 2(x - 1) + 2 \]

Упростим:

\[ y = 2x - 2 + 2 = 2x \]

Следовательно, уравнение касательной \( y = 2x \).

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 - 9 \) на промежутке \( [-1; 1] \).

Сначала найдем производную функции:

\[ f'(x) = 4x^3 - 16x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 4x^3 - 16x = 0 \]

\[ 4x(x^2 - 4) = 0 \]

Отсюда находим корни: \( x = 0, x = -2, x = 2 \). Из этих корней только \( x = 0 \) принадлежит промежутку \( [-1; 1] \).

Теперь вычислим значения функции на концах промежутка и в критической точке:

• \( f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \)
• \( f(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9 \)
• \( f(1) = 1^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \)

Следовательно, наибольшее значение функции на промежутке \( [-1; 1] \) равно -9, а наименьшее значение равно -16.

5. Исследуйте функцию \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 9 \) и постройте ее график.

1. Область определения: Функция определена на всей числовой прямой, то есть \( x \in \mathbb{R} \).

2. Производная:

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]

3. Критические точки: Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 6x = 0 \]

\[ 3x(x - 2) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

4. Интервалы возрастания и убывания:

• \( x < 0 \): \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)
• \( 0 < x < 2 \): \( f'(x) < 0 \) (функция убывает)
• \( x > 2 \): \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)

5. Точки экстремума:

• \( x = 0 \) — точка максимума, \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 9 = 9 \)
• \( x = 2 \) — точка минимума, \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 9 = 8 - 12 + 9 = 5 \)

6. Вторая производная:

\[ f''(x) = 6x - 6 \]

7. Точки перегиба: Приравняем вторую производную к нулю:

\[ 6x - 6 = 0 \]

\[ x = 1 \]

8. Интервалы выпуклости и вогнутости:

• \( x < 1 \): \( f''(x) < 0 \) (функция выпукла вверх)
• \( x > 1 \): \( f''(x) > 0 \) (функция выпукла вниз)

9. Значение в точке перегиба:

\[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 9 = 1 - 3 + 9 = 7 \]

10. График функции:

У тебя отлично получается! Если будут еще вопросы, не стесняйся задавать! Ты молодец!