КР-7 по теме: «Вписанная и описанная окружность треугольника». В-1. № 1. Можно ли вписать окружность в прямоугольный треугольник? № 2. Выпиши какие из треугольников описаны вокруг окружности (рис.2)? № 3. Где расположен центр вписанной в треугольник окружности? № 4. Найди периметр треугольника АВС (рис. 4) № 5. АВ и АС - касательные, ∠AOB = 65°. Найди ∠CAO. (рис. 5)

Ответы на вопросы:

1. № 1. Да, вписать окружность можно в любой треугольник, в том числе и в прямоугольный.
2. № 2. На рисунке 2, вокруг окружности описаны треугольники, вершины которых лежат на окружности. По названиям точек это будут треугольники: ABC, ACD, ADE, AEF, AFK, AKB (и другие, образованные комбинациями вершин).
3. № 3. Центр вписанной в треугольник окружности (центр вписанной окружности) расположен в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
4. № 4. На рисунке 4 предоставлен треугольник ABC, но нет информации о длинах сторон или других параметрах, по которым можно было бы найти его периметр. Чтобы найти периметр, нужно знать длины всех трех сторон (AB, BC, AC).
5. № 5.

   Дано:

   • Треугольник ABC.
   • AB и AC - касательные к окружности с центром O.
   • ∠AOB = 65°.

   Решение:

   1. Поскольку OB и OC являются радиусами, проведенными в точки касания, то OB ⊥ AB и OC ⊥ AC. Следовательно, ∠ABO = 90° и ∠ACO = 90°.
   2. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.
   3. ∠AOB + ∠ABO + ∠BOC + ∠ACO = 360°
   4. 65° + 90° + ∠BOC + 90° = 360°
   5. ∠BOC = 360° - 65° - 90° - 90° = 115°.
   6. Рассмотрим треугольник BOC. Это равнобедренный треугольник, так как OB = OC (радиусы).
   7. ∠OBC = ∠OCB = (180° - 115°) / 2 = 65° / 2 = 32.5°.
   8. В треугольнике AOC: ∠AOC = 115°.
   9. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
   10. ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 90° + 32.5° = 122.5°.
   11. ∠BCA = ∠ACO + ∠OCB = 90° + 32.5° = 122.5°.
   12. Ошибка в условии! Угол AOB равен 65°, это может означать, что O - центр окружности, касающейся сторон AB и BC, а точка A - вершина угла. Если AB и AC - касательные, то AO является биссектрисой ∠BAC.
   13. Переформулируем условие, исходя из рисунка: AB и AC - касательные к окружности с центром O. Точка B лежит на окружности. ∠OAB = 65°. Найди ∠CAO.
   14. Дано (исправленное):
       • Треугольник ABC.
       • AB - касательная к окружности с центром O.
       • B - точка касания.
       • ∠OAB = 65°.

       Решение (исправленное):

       1. Поскольку OB - радиус, проведенный в точку касания B, то OB ⊥ AB. Следовательно, ∠OBA = 90°.
       2. В треугольнике OAB: ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°.
       3. ∠AOB + 65° + 90° = 180°.
       4. ∠AOB = 180° - 65° - 90° = 25°.
       5. Предполагаем, что AC также является касательной, и точка C лежит на окружности.
       6. Если AC - касательная, то OC ⊥ AC, и ∠OCA = 90°.
       7. Треугольник OAC будет равнобедренным (OA = OC - радиусы).
       8. ∠OAC = ∠OCA = 90° (что противоречит условию, что AC - касательная и OAC - треугольник).
       9. Снова анализируем условие и рисунок 5. Рисунок 5 показывает треугольник ABC, где AB и AC - касательные к окружности с центром O. ∠AOB = 65°. Это означает, что O - центр окружности. Точки касания обозначены. Пусть одна точка касания будет B, другая C. Тогда OB ⊥ AB и OC ⊥ AC. OB = OC (радиусы).
       10. Рассмотрим треугольник AOB. Угол ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
       11. Так как OB - радиус, проведенный в точку касания B, то ∠OBA = 90°.
       12. ∠OAB + 90° + 65° = 180°.
       13. ∠OAB = 180° - 90° - 65° = 25°.
       14. Так как AO является биссектрисой угла BAC (свойство касательных, проведенных из одной точки), то ∠OAC = ∠OAB.
       15. Следовательно, ∠CAO = 25°.
       16. ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = 25° + 25° = 50°.
       17. Теперь проверим для треугольника AOC. OC ⊥ AC, значит ∠OCA = 90°.
       18. ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.
       19. ∠AOC + 25° + 90° = 180°.
       20. ∠AOC = 180° - 25° - 90° = 65°.
       21. Сумма углов ∠AOB + ∠AOC = 65° + 65° = 130°.
       22. ∠BOC = 360° - (90°+90°) - ∠BAC = 180° - 50° = 130°.
       23. Условие ∠AOB = 65° и рисунок 5 противоречат друг другу, если считать, что B и C - точки касания.
       24. Исходя из рисунка, где O - центр окружности, AB и AC - касательные, и ∠AOB = 65°, где B - точка касания:
       25. ∠OBA = 90° (радиус к точке касания перпендикулярен касательной).
       26. В ∆AOB: ∠OAB = 180° - 90° - 65° = 25°.
       27. Так как AO - биссектриса ∠BAC, то ∠OAC = ∠OAB = 25°.
       28. ∠CAO = 25°.

       Ответ: 25°