КР-7 по теме: «Вписанная и описанная окружность треугольника». В-Г. № 1. Можно ли вписать окружность в прямоугольный треугольник? № 2. Выпиши какие из треугольников описаны вокруг окружности (рис.2)? № 3. Где расположен центр вписанной в треугольник окружности? № 4. Найди периметр треугольника АВС (рис. 4) № 5. АВ и АС - касательные, ∠AOB = 65°. Найди САО. (рис. 5)

Задание №1

Да, вписать окружность можно в любой треугольник, в том числе и в прямоугольный. Центр вписанной окружности будет находиться на пересечении биссектрис.

Задание №2

На рисунке 2 изображены треугольники MNE и BDF, вокруг которых описана окружность.

Задание №3

Центр вписанной в треугольник окружности расположен на пересечении биссектрис углов треугольника.

Задание №4

Для определения периметра треугольника ABC (рис. 4) нам не хватает данных. На рисунке указаны только длины отрезков 5 и 6, которые, предположительно, являются частями сторон или касательными. Без дополнительных измерений или углов, вычислить периметр невозможно.

Задание №5

Дано:

• Треугольник ABC.
• AB и AC — касательные к окружности с центром O.
• \[ \angle AOB = 65^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle CAO \]

Решение:

1. Свойство касательных: Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \[ \angle OBA = 90^{\circ} \] и \[ \angle OCA = 90^{\circ} \].
2. Сумма углов в треугольнике: В четырехугольнике ABOC сумма углов равна 360°.
3. Угол при центре: \[ \angle BOC = 360^{\circ} - \angle OBA - \angle OCA - \angle BAC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAC \].
4. Рассмотрим треугольник AOB: Это прямоугольный треугольник, так как \[ \angle OBA = 90^{\circ} \].
5. Угол ∠OAB: \[ \angle OAB = 90^{\circ} - \angle AOB = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \].
6. Угол ∠CAO: Так как AB и AC — касательные, проведенные из одной точки, то биссектриса угла ∠BAC проходит через центр окружности O. Таким образом, AO является биссектрисой угла ∠BAC.
7. \[ \angle CAO = \angle BAO = \frac{\angle BAC}{2} \].
8. Поскольку \[ \angle OAB = 25^{\circ} \], то \[ \angle BAC = 2 \times \angle OAB = 2 \times 25^{\circ} = 50^{\circ} \].
9. Следовательно, \[ \angle CAO = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ} \].

Ответ: 25°