КР А9 п.19-22 1 вариант 1. Решите систему уравнений { 3x + y = -1, { x - xy = 8. № 2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см². Найдите стороны прямоугольника. № 3. Решите графически систему уравнений x+y=7, xy=10. №4. Является ли пара чисел (2;-4) решением системы уравнений: 3+y=x-3, (x²+(y+6)² = 9? № 5*. Решите систему уравнений {x+y=4, { x²+2xy + 2y²=17.

Ответ: Решения ниже.

1. Решите систему уравнений

\[\begin{cases} 3x + y = -1 \\ x - xy = 8 \end{cases}\] Шаг 1: Выразим y из первого уравнения: \[y = -1 - 3x\] Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение: \[x - x(-1 - 3x) = 8\] Шаг 3: Раскроем скобки и упростим: \[x + x + 3x^2 = 8\] \[3x^2 + 2x - 8 = 0\] Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100\] Шаг 5: Найдем корни: \[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2\] Шаг 6: Найдем соответствующие значения y: Для \(x_1 = \frac{4}{3}\): \[y_1 = -1 - 3 \cdot \frac{4}{3} = -1 - 4 = -5\] Для \(x_2 = -2\): \[y_2 = -1 - 3 \cdot (-2) = -1 + 6 = 5\] Ответ: \((\frac{4}{3}; -5), (-2; 5)\)

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см². Найдите стороны прямоугольника.

Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда имеем систему уравнений: \[\begin{cases} 2(a + b) = 26 \\ ab = 42 \end{cases}\] Шаг 2: Упростим первое уравнение: \[a + b = 13\] Шаг 3: Выразим b через a: \[b = 13 - a\] Шаг 4: Подставим это выражение во второе уравнение: \[a(13 - a) = 42\] Шаг 5: Раскроем скобки и упростим: \[13a - a^2 = 42\] \[a^2 - 13a + 42 = 0\] Шаг 6: Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1\] Шаг 7: Найдем корни: \[a_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[a_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 1}{2} = \frac{12}{2} = 6\] Шаг 8: Найдем соответствующие значения b: Для \(a_1 = 7\): \[b_1 = 13 - 7 = 6\] Для \(a_2 = 6\): \[b_2 = 13 - 6 = 7\] Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 см и 7 см.

3. Решите графически систему уравнений

\[\begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 10 \end{cases}\] Шаг 1: Выразим y из первого уравнения: \[y = 7 - x\] Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение: \[x(7 - x) = 10\] Шаг 3: Раскроем скобки и упростим: \[7x - x^2 = 10\] \[x^2 - 7x + 10 = 0\] Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\] Шаг 5: Найдем корни: \[x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\] Шаг 6: Найдем соответствующие значения y: Для \(x_1 = 5\): \[y_1 = 7 - 5 = 2\] Для \(x_2 = 2\): \[y_2 = 7 - 2 = 5\] Ответ: \((5; 2), (2; 5)\)

4. Является ли пара чисел (2;-4) решением системы уравнений:

\[\begin{cases} 3 + y = x - 3 \\ x^2 + (y + 6)^2 = 9 \end{cases}\] Шаг 1: Подставим \(x = 2\) и \(y = -4\) в первое уравнение: \[3 + (-4) = 2 - 3\] \[-1 = -1\] Уравнение выполняется. Шаг 2: Подставим \(x = 2\) и \(y = -4\) во второе уравнение: \[2^2 + (-4 + 6)^2 = 9\] \[4 + (2)^2 = 9\] \[4 + 4 = 9\] \[8 = 9\] Уравнение не выполняется. Ответ: Пара чисел (2;-4) не является решением системы уравнений, так как не удовлетворяет второму уравнению.

5*. Решите систему уравнений

\[\begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 + 2xy + 2y^2 = 17 \end{cases}\] Шаг 1: Выразим x через y из первого уравнения: \[x = 4 - y\] Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение: \[(4 - y)^2 + 2(4 - y)y + 2y^2 = 17\] Шаг 3: Раскроем скобки и упростим: \[16 - 8y + y^2 + 8y - 2y^2 + 2y^2 = 17\] \[y^2 + 16 = 17\] \[y^2 = 1\] Шаг 4: Найдем значения y: \[y_1 = 1\] \[y_2 = -1\] Шаг 5: Найдем соответствующие значения x: Для \(y_1 = 1\): \[x_1 = 4 - 1 = 3\] Для \(y_2 = -1\): \[x_2 = 4 - (-1) = 5\] Ответ: \((3; 1), (5; -1)\)

Ответ: Решения выше.