КР — биссектриса угла NKM; MP = KP, PR = RK, ∠M = 35°. Найди градусную меру ∠PRK.

1. Так как MP = KP и PR = RK, то треугольники MPN и KPN равны по трем сторонам (MP=KP, NP=NP, MN=KN). Следовательно, ∠MNP = ∠KNP, то есть NP — биссектриса угла MNK.
2. Так как KP — биссектриса ∠NKM, то ∠NKP = ∠MKP. Так как PR = RK, то треугольник PRK равнобедренный, значит ∠RPK = ∠RKP.
3. В треугольнике MPK, MP = KP, значит он равнобедренный. ∠MPK = ∠KMP = 35°. Следовательно, ∠MKP = 180° - 2 * 35° = 180° - 70° = 110°. Так как KP — биссектриса, то ∠NKP = ∠MKP = 110°. В треугольнике PRK, ∠RKP = ∠MKP = 110°. Так как PR = RK, то ∠RPK = ∠RKP = 110°. Сумма углов в треугольнике PRK равна 180°. ∠PRK = 180° - (∠RPK + ∠RKP) = 180° - (110° + 110°) = 180° - 220° = -40°. Это невозможно.
Пересмотрим условие. MP = KP, PR = RK. KP - биссектриса ∠NKM. ∠M = 35°. Найти ∠PRK.
1. В треугольнике MPK, MP = KP, значит он равнобедренный. ∠MPK = ∠MKP. Так как ∠M = 35°, то ∠MPK = ∠MKP = (180° - 35°)/2 = 145°/2 = 72.5°.
2. Так как KP - биссектриса ∠NKM, то ∠NKP = ∠MKP = 72.5°.
3. В треугольнике PRK, PR = RK, значит он равнобедренный. ∠RPK = ∠RKP. Так как ∠MKP = 72.5°, то ∠RKP = 72.5°. Следовательно, ∠RPK = 72.5°.
4. Сумма углов в треугольнике PRK равна 180°. ∠PRK = 180° - (∠RPK + ∠RKP) = 180° - (72.5° + 72.5°) = 180° - 145° = 35°.