КР по теме Логарифмы Вариант 3. 1) Вычислите: log8 8-5 2) -11-: log√3 81√3 3) -11-: log0,2 25/√5 4) Найдите значение числового выражения: 34 log32 5) Найдите число х по данному его логарифму: log7 x = log7 14 - log7 98 6) -11-: lg x = 1/2 lg 3 + 2/3 lg 5 - 1/4 lg 4 7) Сравните значения выражений: log 1/3 1.6 + log 1/3 4 и log 1/3 (16+4) 8) Решите уравнение: lg (x²-6) = lg (8+5x) 9) -11-: log0,6 (x+3) + log0,6 (x-3) = log0,6 (2x-1) 10) Решите неравенство: lg (x²-8) ≤ lg (2-9x)

Привет! Давай выполним это контрольное задание по логарифмам. Будем решать каждое задание по порядку.

Задание 1

Вычислите: log₈ 8^-5

Используем свойство логарифма: log_a a^b = b

log₈ 8^-5 = -5

Ответ: -5

Задание 2

Вычислите: log_√3 (81√3)

Представим 81 как 3⁴, тогда выражение будет log_√3 (3⁴√3)

√3 = 3^1/2, поэтому выражение можно записать как log_3^1/2 (3⁴ * 3^1/2)

log_3^1/2 (3^4+1/2) = log_3^1/2 (3^9/2)

Используем свойство логарифма: log_a^b c^d = (d/b) * log_a c

(9/2) / (1/2) * log₃ 3 = 9 * 1 = 9

Ответ: 9

Задание 3

Вычислите: log_0.2 (25/√5)

Представим 0.2 как 1/5, а 25 как 5², тогда выражение будет log_1/5 (5²/√5)

√5 = 5^1/2, поэтому выражение можно записать как log_5^-1 (5² * 5^-1/2)

log_5^-1 (5^2-1/2) = log_5^-1 (5^3/2)

Используем свойство логарифма: log_a^b c^d = (d/b) * log_a c

(3/2) / (-1) * log₅ 5 = -3/2 * 1 = -1.5

Ответ: -1.5

Задание 4

Найдите значение числового выражения: 3^4log₃2

Используем свойство логарифма: a^log_ab = b

3^4log₃2 = (3^log₃2)⁴ = 2⁴ = 16

Ответ: 16

Задание 5

Найдите число x по данному его логарифму: log₇ x = log₇ 14 - log₇ 98

Используем свойство логарифма: log_a b - log_a c = log_a (b/c)

log₇ x = log₇ (14/98) = log₇ (1/7)

log₇ x = log₇ (7^-1)

x = 7^-1 = 1/7

Ответ: 1/7

Задание 6

lg x = 1/2 lg 3 + 2/3 lg 5 - 1/4 lg 4

Используем свойство логарифма: a * log b = log b^a

lg x = lg 3^1/2 + lg 5^2/3 - lg 4^1/4

lg x = lg √3 + lg ∛(5²) - lg ⁴√4

lg x = lg √3 + lg ∛25 - lg √2

lg x = lg (√3 * ∛25 / √2)

x = √3 * ∛25 / √2

x = (√3 * ∛25) / √2

Ответ: (√3 * ∛25) / √2

Задание 7

Сравните значения выражений: log_1/3 1.6 + log_1/3 4 и log_1/3 (16+4)

log_1/3 1.6 + log_1/3 4 = log_1/3 (1.6 * 4) = log_1/3 6.4

log_1/3 (16 + 4) = log_1/3 20

Сравним 6.4 и 20. Так как основание логарифма меньше 1 (1/3), то чем больше аргумент, тем меньше значение логарифма.

log_1/3 6.4 > log_1/3 20

log_1/3 1.6 + log_1/3 4 > log_1/3 (16+4)

Ответ: log_1/3 1.6 + log_1/3 4 > log_1/3 (16+4)

Задание 8

Решите уравнение: lg (x²-6) = lg (8+5x)

Так как логарифмы равны, то аргументы тоже равны:

x² - 6 = 8 + 5x

x² - 5x - 14 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-5)² - 4 * 1 * (-14) = 25 + 56 = 81

x₁ = (5 + √81) / 2 = (5 + 9) / 2 = 14 / 2 = 7

x₂ = (5 - √81) / 2 = (5 - 9) / 2 = -4 / 2 = -2

Проверим корни:

Для x = 7: lg (7² - 6) = lg (49 - 6) = lg 43

lg (8 + 5 * 7) = lg (8 + 35) = lg 43

Для x = -2: lg ((-2)² - 6) = lg (4 - 6) = lg (-2) - не существует, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Ответ: x = 7

Задание 9

log_0.6 (x+3) + log_0.6 (x-3) = log_0.6 (2x-1)

Используем свойство логарифма: log_a b + log_a c = log_a (b * c)

log_0.6 ((x+3)(x-3)) = log_0.6 (2x-1)

log_0.6 (x² - 9) = log_0.6 (2x - 1)

Так как логарифмы равны, то аргументы тоже равны:

x² - 9 = 2x - 1

x² - 2x - 8 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

x₁ = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4

x₂ = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Проверим корни:

Для x = 4: log_0.6 (4+3) + log_0.6 (4-3) = log_0.6 7 + log_0.6 1 = log_0.6 7

log_0.6 (2*4 - 1) = log_0.6 (8 - 1) = log_0.6 7

Для x = -2: log_0.6 (-2+3) + log_0.6 (-2-3) = log_0.6 1 + log_0.6 (-5) - не существует, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Ответ: x = 4

Задание 10

Решите неравенство: lg (x²-8) ≤ lg (2-9x)

Так как логарифмы с одинаковым основанием, то можно сравнить аргументы:

x² - 8 ≤ 2 - 9x

x² + 9x - 10 ≤ 0

Решим квадратное уравнение:

x² + 9x - 10 = 0

D = 9² - 4 * 1 * (-10) = 81 + 40 = 121

x₁ = (-9 + √121) / 2 = (-9 + 11) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-9 - √121) / 2 = (-9 - 11) / 2 = -20 / 2 = -10

Решением неравенства будет интервал [-10, 1].

Однако, необходимо учитывать, что аргументы логарифмов должны быть положительными:

x² - 8 > 0 и 2 - 9x > 0

x² > 8 => x < -√8 или x > √8

2 > 9x => x < 2/9

Таким образом, решением будет интервал [-10, -√8) ∪ (√8, 2/9)

Ответ: x ∈ [-10, -√8) ∪ (√8, 2/9)

Отлично! Ты хорошо поработал над этим заданием. Уверен, у тебя все получится и в дальнейшем!