17102 К/Р" Прим-е производной. І Найти в точке Хо--2 для f(x)= x+1 Ті Док-ть, что ф-ия убывает на + 2P-44 flx)=7cosx-5sin3x-22x Яля указаннык ф-ші найти: 2 Ⅳ Найти Max и Min знаете ф-un на отрезке XELD; 3] для ф-иш f(x)=3x²-5x3 Асследоват и построять сх график y=x²+6X

I. Найти производную функции в точке

Дано: f(x) = \(\frac{3x^2 - 1}{x + 1}\), X₀ = -2

Найти: f'(X₀)

Решение:

1. Находим производную функции f(x):

\[f'(x) = \frac{(6x)(x + 1) - (3x^2 - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{6x^2 + 6x - 3x^2 + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3x^2 + 6x + 1}{(x + 1)^2}\]

2. Вычисляем значение производной в точке X₀ = -2:

\[f'(-2) = \frac{3(-2)^2 + 6(-2) + 1}{(-2 + 1)^2} = \frac{3(4) - 12 + 1}{1} = \frac{12 - 12 + 1}{1} = 1\]

Ответ: f'(-2) = 1

II. Доказать, что функция убывает на заданном интервале

Дано: f(x) = 7cos(x) - 5sin(3x) - 22x, x ∈ (-∞; +∞)

Доказать: f(x) убывает на x ∈ (-∞; +∞)

Решение:

1. Находим производную функции f(x):

\[f'(x) = -7sin(x) - 15cos(3x) - 22\]

2. Анализируем знак производной:

Так как \(|-7sin(x)| ≤ 7\) и \(|-15cos(3x)| ≤ 15\), то \[f'(x) = -7sin(x) - 15cos(3x) - 22 ≤ 7 + 15 - 22 = 0\]

Производная всегда отрицательна или равна нулю, следовательно, функция f(x) убывает на всей числовой прямой.

Доказано.

III. Найти область определения и производную функции

a) y = √(1 - 2x)

1. Область определения:

1 - 2x ≥ 0

2x ≤ 1

x ≤ \(\frac{1}{2}\)

D(y) = (-∞; \(\frac{1}{2}\)]

2. Производная:

\[y' = \frac{-2}{2√(1 - 2x)} = \frac{-1}{√(1 - 2x)}\]

б) y = \(-\frac{3x^2}{x^2 + 4}\)

1. Область определения:

x² + 4 ≠ 0 (всегда верно)

D(y) = (-∞; +∞)

2. Производная:

\[y' = -\frac{6x(x^2 + 4) - 3x^2(2x)}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{6x^3 + 24x - 6x^3}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{24x}{(x^2 + 4)^2}\]

IV. Найти Max и Min значения функции на отрезке

Дано: f(x) = 3x⁵ - 5x³, x ∈ [0; 3]

1. Находим производную функции f(x):

\[f'(x) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1)\]

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

15x²(x² - 1) = 0

x = 0, x = 1, x = -1 (не входит в отрезок [0; 3])

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

f(0) = 3(0)⁵ - 5(0)³ = 0

f(1) = 3(1)⁵ - 5(1)³ = 3 - 5 = -2

f(3) = 3(3)⁵ - 5(3)³ = 3(243) - 5(27) = 729 - 135 = 594

Ответ: Max значение = 594, Min значение = -2

V. Исследовать функцию и построить график

Дано: y = x³ + 6x

1. Область определения:

D(y) = (-∞; +∞)

2. Производная:

y' = 3x² + 6

3. Критические точки:

3x² + 6 = 0

x² = -2 (нет решений, значит нет экстремумов)

4. Вторая производная:

y" = 6x

5. Точки перегиба:

6x = 0

x = 0

6. Интервалы выпуклости и вогнутости:

x < 0: y" < 0 (выпукла вверх)

x > 0: y" > 0 (выпукла вниз)

7. Поведение на бесконечности:

x → -∞: y → -∞

x → +∞: y → +∞

8. График:

График представляет собой кубическую параболу, проходящую через начало координат, без экстремумов и с точкой перегиба в (0; 0).