КР «Признаки подобия треугольников» В-1 1. На рисунке даны два подобных прямоугольных треугольника. Какая запись пропорциональности всех пар сходственных сторон будет верной? AF AF AD AD DE AF 1) = = : 2) : = = AB AC CCB AB AC CB AF AD DF AF AC BC 3) = = 4) = = AB AC CB AD AB DF 2. В треугольнике АВС АВ=10, ВС=8. Отрезок №Кпараллелен АВ. причем точка № лежит на стороне ВС, точка К лежит на стороне АС, CN=4. Найдите №К. 3. Треугольники ВОС и РМК подобны. BO 6 PM 5 =- Найдите периметр треугольника ВОС, если периметр треугольника РМК равен 34 см 4. Треугольники MNK и FTC подобны. Площадь треугольника FTC составляет 0.36 площади треугольника MNK. Найдите коэффициент подобия этих треугольников. 5. В треугольнике АВС на стороне АВ взяли точку М, на стороне ВС взяли точку Р так, что АМ: МB = CP: PB=3:1. Во сколько раз площадь четырехугольника АМРС больше меньше площади треугольника АВС? 6. Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О. Отрезки АВ и CD параллельны. Докажите, что AO-OC = BOOD.

1. Пропорциональность сторон подобных треугольников

Смотри, тут всё просто: нужно вспомнить определение подобных треугольников. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что отношение сторон одного треугольника равно отношению соответствующих сторон другого треугольника.

В данном случае, правильная запись пропорциональности выглядит так:

Ответ: 2) \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{AC} = \frac{AF}{CB}\)

2. Поиск длины отрезка NK

Разбираемся: отрезок NK параллелен стороне AB, значит, треугольники CNK и CBA подобны. Используем это, чтобы найти NK.

• Составим отношение: \(\frac{CN}{CB} = \frac{NK}{AB}\)
• Подставим известные значения: \(\frac{4}{8} = \frac{NK}{10}\)
• Решим уравнение: \(NK = \frac{4 \cdot 10}{8} = 5\)

Ответ: NK = 5

3. Периметр треугольника BOC

Логика такая: треугольники BOC и PMK подобны, и мы знаем отношение их сторон. Используем это, чтобы найти периметр треугольника BOC.

• Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сторон: \(\frac{P_{BOC}}{P_{PMK}} = \frac{BO}{PM} = \frac{6}{5}\)
• Известно, что \(P_{PMK} = 34\) см, тогда \(P_{BOC} = \frac{6}{5} \cdot 34 = 40.8\) см

Ответ: Периметр треугольника BOC равен 40.8 см.

4. Коэффициент подобия треугольников MNK и FTC

Смотри, тут всё просто: площадь треугольника FTC составляет 0.36 площади треугольника MNK. Коэффициент подобия равен квадратному корню из отношения площадей.

• \(k^2 = \frac{S_{FTC}}{S_{MNK}} = 0.36\)
• \(k = \sqrt{0.36} = 0.6\)

Ответ: Коэффициент подобия равен 0.6

5. Отношение площадей четырехугольника AMPC и треугольника ABC

Разбираемся: АМ: МВ = CP: PB = 3:1. Найдем, во сколько раз площадь четырехугольника AMPC больше площади треугольника ABC.

• Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AMPC и MPB.
• \(\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot CP}{AB \cdot BC} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}\)
• Тогда \(S_{AMP} = \frac{9}{16} S_{ABC}\)
• Площадь треугольника MPB равна \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\)
• Площадь четырехугольника AMPC равна \(S_{ABC} - S_{MPB} = S_{ABC} - \frac{1}{16} S_{ABC} = \frac{15}{16}S_{ABC}\)
• Во сколько раз площадь четырехугольника AMPC больше площади треугольника MPB? \(\frac{S_{AMPC}}{S_{MPB}} = \frac{\frac{15}{16}S_{ABC}}{\frac{1}{16}S_{ABC}} = 15\)

Ответ: Площадь четырехугольника AMPC в 15 раз больше площади треугольника MPB.

6. Доказательство параллельности отрезков

Логика такая: отрезки AB и CD параллельны. Докажем, что \(AO \cdot OC = BO \cdot OD\).

• Треугольники AOB и DOC подобны по двум углам (вертикальные и накрест лежащие углы).
• Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \(\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC}\)
• Перекрестным умножением получаем: \(AO \cdot OC = BO \cdot OD\)

Доказано, что \(AO \cdot OC = BO \cdot OD\).