К.р.№3 «Уравнения и неравенства с одной переменной» Вариант 1 • 1. Решите уравнение: а) х³ - 81x = 0; 6) \frac{10y}{9y^{2}-4} + \frac{y-5}{3y+2} = \frac{y-3}{2-3y} •2. Решите неравенство: а) 2x² - 13x +6 <0.; 6) x² ≤ 64 • 3. Решите неравенство методом интервалов: a) (x + 8) (x-4) (x - 7) >0; 6) \frac{8x-16}{15-3x} ≥0 • 4. Решите биквадратное уравнение х4 - 19x² + 48 = 0. 5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = \frac{x}{x-2} и у = х² - 3х+1.

1. Решите уравнение:

а) $$x^3 - 81x = 0$$

• Вынесем общий множитель за скобки: $$x(x^2 - 81) = 0$$
• Разложим разность квадратов: $$x(x - 9)(x + 9) = 0$$
• Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $$x = 0$$, $$x - 9 = 0$$, $$x + 9 = 0$$
• Решим каждое уравнение: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 9$$, $$x_3 = -9$$

Ответ: $$\lbrace -9; 0; 9 \rbrace$$

б) $$\frac{10y}{9y^{2}-4} + \frac{y-5}{3y+2} = \frac{y-3}{2-3y}$$

• Преобразуем знаменатели: $$\frac{10y}{(3y-2)(3y+2)} + \frac{y-5}{3y+2} = -\frac{y-3}{3y-2}$$
• Общий знаменатель: $$(3y-2)(3y+2)$$
• Домножаем числители: $$10y + (y-5)(3y-2) = -(y-3)(3y+2)$$
• Раскрываем скобки: $$10y + 3y^2 - 2y - 15y + 10 = -(3y^2 + 2y - 9y - 6)$$
• $$10y + 3y^2 - 2y - 15y + 10 = -3y^2 - 2y + 9y + 6$$
• $$3y^2 - 7y + 10 = -3y^2 + 7y + 6$$
• $$6y^2 - 14y + 4 = 0$$
• $$3y^2 - 7y + 2 = 0$$
• Решим квадратное уравнение:
• $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$$
• $$y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$$
• $$y_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$$
• $$y_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
• Проверим ОДЗ: $$3y + 2
  eq 0$$ и $$3y - 2
  eq 0$$
• $$y
  eq -\frac{2}{3}$$ и $$y
  eq \frac{2}{3}$$
• Так как $$y_1 = 2$$ не является корнем, то остаётся только $$y_2 = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$\frac{1}{3}$$

2. Решите неравенство:

а) $$2x^2 - 13x + 6 < 0$$

• Решим квадратное уравнение: $$2x^2 - 13x + 6 = 0$$
• $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$$
• $$x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 11}{4}$$
• $$x_1 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$$
• $$x_2 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
• Интервалы: $$(-\infty; \frac{1}{2})$$, $$(\frac{1}{2}; 6)$$, $$(6; +\infty)$$
• Проверка:
• $$x = 0$$: $$2(0)^2 - 13(0) + 6 = 6 > 0$$
• $$x = 1$$: $$2(1)^2 - 13(1) + 6 = 2 - 13 + 6 = -5 < 0$$
• $$x = 7$$: $$2(7)^2 - 13(7) + 6 = 98 - 91 + 6 = 13 > 0$$

Ответ: $$(\frac{1}{2}; 6)$$

б) $$x^2 \le 64$$

• $$x^2 - 64 \le 0$$
• $$(x - 8)(x + 8) \le 0$$
• Интервалы: $$(-\infty; -8]$$, $$[-8; 8]$$, $$[8; +\infty)$$
• Проверка:
• $$x = -9$$: $$(-9)^2 = 81 > 64$$
• $$x = 0$$: $$(0)^2 = 0 < 64$$
• $$x = 9$$: $$(9)^2 = 81 > 64$$

Ответ: $$[-8; 8]$$

3. Решите неравенство методом интервалов:

а) $$(x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0$$

• Нули функции: $$x_1 = -8$$, $$x_2 = 4$$, $$x_3 = 7$$
• Интервалы: $$(-\infty; -8)$$, $$(-8; 4)$$, $$(4; 7)$$, $$(7; +\infty)$$
• Проверка:
• $$x = -9$$: $$(-9 + 8)(-9 - 4)(-9 - 7) = (-1)(-13)(-16) = -208 < 0$$
• $$x = 0$$: $$(0 + 8)(0 - 4)(0 - 7) = (8)(-4)(-7) = 224 > 0$$
• $$x = 5$$: $$(5 + 8)(5 - 4)(5 - 7) = (13)(1)(-2) = -26 < 0$$
• $$x = 8$$: $$(8 + 8)(8 - 4)(8 - 7) = (16)(4)(1) = 64 > 0$$

Ответ: $$(-8; 4) \cup (7; +\infty)$$

б) $$\frac{8x-16}{15-3x} \ge 0$$

• Нули числителя: $$8x - 16 = 0$$ $$x = 2$$
• Нули знаменателя: $$15 - 3x = 0$$ $$x = 5$$
• Интервалы: $$(-\infty; 2]$$, $$[2; 5)$$, $$(5; +\infty)$$
• Проверка:
• $$x = 0$$: $$\frac{8(0)-16}{15-3(0)} = \frac{-16}{15} < 0$$
• $$x = 3$$: $$\frac{8(3)-16}{15-3(3)} = \frac{8}{6} > 0$$
• $$x = 6$$: $$\frac{8(6)-16}{15-3(6)} = \frac{32}{-3} < 0$$

Ответ: $$[2; 5)$$

4. Решите биквадратное уравнение $$x^4 - 19x^2 + 48 = 0$$

• Замена: $$t = x^2$$
• $$t^2 - 19t + 48 = 0$$
• $$D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 361 - 192 = 169$$
• $$t_{1,2} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{19 \pm 13}{2}$$
• $$t_1 = \frac{19 + 13}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
• $$t_2 = \frac{19 - 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
• Обратная замена: $$x^2 = 16$$ и $$x^2 = 3$$
• $$x_{1,2} = \pm \sqrt{16} = \pm 4$$ и $$x_{3,4} = \pm \sqrt{3}$$

Ответ: $$\lbrace -4; 4; -\sqrt{3}; \sqrt{3} \rbrace$$

5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций $$y = \frac{x}{x-2}$$ и $$y = x^2 - 3x+1$$.

• Приравняем функции: $$\frac{x}{x-2} = x^2 - 3x+1$$
• $$x = (x^2 - 3x+1)(x-2)$$
• $$x = x^3 - 2x^2 - 3x^2 + 6x + x - 2$$
• $$x = x^3 - 5x^2 + 7x - 2$$
• $$x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = 0$$

Решение кубического уравнения может быть сложным и требует специальных методов. Попробуем найти рациональный корень. Если рациональный корень существует, то он должен быть делителем свободного члена, то есть числа 2. Проверим делители: ±1, ±2.

• $$x = 1$$: $$(1)^3 - 5(1)^2 + 6(1) - 2 = 1 - 5 + 6 - 2 = 0$$

Значит, x = 1 является корнем уравнения. Разделим многочлен на (x - 1):

x^3 - 5x^2 + 6x - 2 | x - 1
-(x^3 - x^2)           | x^2 - 4x + 2
----------------
    -4x^2 + 6x
    -(-4x^2 + 4x)
    --------------
            2x - 2
            -(2x - 2)
            ---------
                   0

• Получаем: $$(x - 1)(x^2 - 4x + 2) = 0$$
• Решим квадратное уравнение: $$x^2 - 4x + 2 = 0$$
• $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$$
• $$x_{2,3} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$
• $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2 + \sqrt{2}$$, $$x_3 = 2 - \sqrt{2}$$
• Найдем соответствующие значения y:
• $$y_1 = (1)^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$$
• $$y_2 = (2 + \sqrt{2})^2 - 3(2 + \sqrt{2}) + 1 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 6 - 3\sqrt{2} + 1 = 1 + \sqrt{2}$$
• $$y_3 = (2 - \sqrt{2})^2 - 3(2 - \sqrt{2}) + 1 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 - 6 + 3\sqrt{2} + 1 = 1 - \sqrt{2}$$

Ответ: $$(1; -1)$$, $$(2 + \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$$, $$(2 - \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2})$$