КР Векторы 9 класс 2 вариант 1. ** Определите вид треугольника АВС, если А (0;1), B (1;-4), C (5;2) 2. Вычислить скалярное произведение векторов т и п, если Iml = 3, lnl = 4, а угол между ними равен 45°. 3.Скалярное произведение ненулевых векторов р и Ӣ, равно 0.Определите угол между этими векторами. 4.Вычислите скалярное произведение векторов а и Б,если а (-4; 5), Б (-5;4). 5. Найдите угол между ненулевыми векторами с (х; - у) и d (y; x). 6.Вычислите косинус угла между векторами а и Б, если а (-12;5), Б (3;4). 7. Даны вектора т (3; у) и п (2;-6). При каких значениях у, эти векторы перпендикулярны?

Разберем каждое задание по порядку.

1. Определим вид треугольника ABC с координатами вершин A(0;1), B(1;-4), C(5;2).

   Найдем длины сторон треугольника:

   • $$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$
   • $$BC = \sqrt{(5-1)^2 + (2-(-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$
   • $$AC = \sqrt{(5-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$

   Так как AB = AC, треугольник ABC равнобедренный. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора:

   • $$AB^2 + AC^2 = 26 + 26 = 52$$
   • $$BC^2 = 52$$

   Поскольку $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$, треугольник ABC является прямоугольным.

   Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным.

2. Вычислим скалярное произведение векторов $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, если $$|\vec{m}| = 3$$, $$|\vec{n}| = 4$$, а угол между ними равен 45°.

   Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

   $$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\theta)$$, где $$\theta$$ - угол между векторами.

   В данном случае:

   $$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$

   Ответ: Скалярное произведение равно $$6\sqrt{2}$$.

3. Скалярное произведение ненулевых векторов $$\vec{p}$$ и $$\vec{q}$$ равно 0. Определите угол между этими векторами.

   Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно 0, это означает, что векторы перпендикулярны. Угол между перпендикулярными векторами равен 90°.

   Ответ: Угол между векторами равен 90°.

4. Вычислим скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, если $$\vec{a} = (-4; 5)$$, $$\vec{b} = (-5; 4)$$.

   Скалярное произведение векторов $$\vec{a}(x_1; y_1)$$ и $$\vec{b}(x_2; y_2)$$ вычисляется по формуле:

   $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$

   В данном случае:

   $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 20 + 20 = 40$$

   Ответ: Скалярное произведение равно 40.

5. Найдите угол между ненулевыми векторами $$\vec{c}(x; -y)$$ и $$\vec{d}(y; x)$$.

   Скалярное произведение векторов $$\vec{c}$$ и $$\vec{d}$$ равно:

   $$\vec{c} \cdot \vec{d} = x \cdot y + (-y) \cdot x = xy - yx = 0$$

   Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны, и угол между ними равен 90°.

   Ответ: Угол между векторами равен 90°.

6. Вычислите косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, если $$\vec{a} = (-12; 5)$$, $$\vec{b} = (3; 4)$$.

   Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

   $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16$$

   Найдем длины векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

   • $$|\vec{a}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$
   • $$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

   Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

   $$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-16}{13 \cdot 5} = -\frac{16}{65}$$

   Ответ: Косинус угла между векторами равен $$-\frac{16}{65}$$.

7. Даны вектора $$\vec{m}(3; y)$$ и $$\vec{n}(2; -6)$$. При каких значениях y эти векторы перпендикулярны?

   Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

   $$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + y \cdot (-6) = 6 - 6y = 0$$

   Решим уравнение относительно y:

   $$6 - 6y = 0 \Rightarrow 6y = 6 \Rightarrow y = 1$$

   Ответ: Векторы перпендикулярны при y = 1.