КР: Введение в математический анализ. Р: Дифференциальные исчисления функции одной переменной. $$y = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{3x^2 - 2x + 5}}$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим числитель и знаменатель функции. Пусть $$u = e^{-x^2}$$ и $$v = \sqrt{3x^2 - 2x + 5}$$.
2. Шаг 2: Найдем производную числителя $$u'$$. Используем правило цепи: $$\frac{d}{dx}e^{f(x)} = e^{f(x)} \cdot f'(x)$$. Здесь $$f(x) = -x^2$$, следовательно, $$f'(x) = -2x$$.
   Таким образом, $$u' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$$.
3. Шаг 3: Найдем производную знаменателя $$v'$$. Прежде всего, представим $$v$$ как $$(3x^2 - 2x + 5)^{\frac{1}{2}}$$. Используем правило цепи: $$\frac{d}{dx}(g(x))^n = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$$. Здесь $$g(x) = 3x^2 - 2x + 5$$ и $$n = \frac{1}{2}$$.
   $$g'(x) = 6x - 2$$.
   Следовательно, $$v' = \frac{1}{2}(3x^2 - 2x + 5)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (6x - 2) = \frac{1}{2}(3x^2 - 2x + 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6x - 2) = \frac{3x - 1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 5}}$$.
4. Шаг 4: Применим правило частного для нахождения производной $$y'$$, которое гласит: $$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$.
   $$y' = \frac{(-2xe^{-x^2})\cdot\sqrt{3x^2 - 2x + 5} - e^{-x^2}\cdot\frac{3x - 1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 5}}}{(\sqrt{3x^2 - 2x + 5})^2}$$.
5. Шаг 5: Упростим выражение.
   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{3x^2 - 2x + 5}$$:
   $$y' = \frac{(-2xe^{-x^2})\cdot(3x^2 - 2x + 5) - e^{-x^2}\cdot(3x - 1)}{(\sqrt{3x^2 - 2x + 5})^2 \cdot \sqrt{3x^2 - 2x + 5}} = \frac{-e^{-x^2}[2x(3x^2 - 2x + 5) + (3x - 1)]}{ (3x^2 - 2x + 5)^{\frac{3}{2}}} $$.
6. Шаг 6: Раскроем скобки в числителе.
   $$2x(3x^2 - 2x + 5) + (3x - 1) = 6x^3 - 4x^2 + 10x + 3x - 1 = 6x^3 - 4x^2 + 13x - 1$$.
7. Шаг 7: Запишем окончательный ответ.
   $$y' = \frac{-e^{-x^2}(6x^3 - 4x^2 + 13x - 1)}{(3x^2 - 2x + 5)^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{-x^2}(1 - 13x + 4x^2 - 6x^3)}{(3x^2 - 2x + 5)^{\frac{3}{2}}} $$.

Ответ: $$y' = \frac{e^{-x^2}(1 - 13x + 4x^2 - 6x^3)}{(3x^2 - 2x + 5)^{\frac{3}{2}}} $$