17. Кристина написала на листе бумаги двузначное число и показала его Ярику. Ярик понял, что это число делится на 4, и дописал такое же число справа. В результате получилось четырёхзначное число, которое можно поделить на 13. Какое число написала Кристина?

Решение: Пусть двузначное число, которое написала Кристина, будет $$x$$. Тогда четырехзначное число, которое получилось после дописывания этого же числа справа, будет $$100x + x = 101x$$. Нам известно, что $$101x$$ делится на 13. То есть, $$101x = 13k$$, где $$k$$ - некоторое целое число. Отсюда следует, что $$x = \frac{13k}{101}$$. Так как $$x$$ - двузначное число, то $$10 \le x \le 99$$. Подставим это условие в наше выражение: $$10 \le \frac{13k}{101} \le 99$$ $$1010 \le 13k \le 9999$$ $$\frac{1010}{13} \le k \le \frac{9999}{13}$$ $$77.69 \le k \le 769.15$$ Поскольку $$k$$ - целое число, то $$78 \le k \le 769$$. Также, мы знаем, что $$x$$ делится на 4. Это значит, что $$\frac{13k}{101}$$ должно делиться на 4. Следовательно, $$13k$$ должно делиться на 404. Так как 13 и 404 взаимно простые, то $$k$$ должно делиться на 404. То есть $$k = 404n$$, где $$n$$ - целое число. Подставим это в наши ограничения на $$k$$: $$78 \le 404n \le 769$$ $$\frac{78}{404} \le n \le \frac{769}{404}$$ $$0.19 \le n \le 1.9$$ Поскольку $$n$$ - целое число, то $$n = 1$$. Таким образом, $$k = 404*1 = 404$$. Тогда $$x = \frac{13*404}{101} = \frac{5252}{101} = 52$$. Проверим, что 52 делится на 4 и что 5252 делится на 13. Действительно, $$52 = 4 * 13$$ и $$5252 = 13 * 404$$. Таким образом, Кристина написала число **52**. Развернутый ответ для школьника: Представь, что у нас есть какое-то двузначное число, которое делится на 4. Назовем его "x". Кристина записала это число дважды, и получилось четырехзначное число, которое можно разделить на 13. Полученное четырехзначное число состоит из двух одинаковых двузначных чисел. Например, если Кристина написала 25, то получилось бы 2525. Математически это можно представить как $$100x + x = 101x$$. Нам сказали, что это число делится на 13. Это значит, что $$101x$$ делится на 13. Так как число делится на 13, то $$101x = 13 * k$$, где "k" какое-то целое число. Разделим обе части на 101, получим $$x = \frac{13k}{101}$$. Число "x" - двузначное, значит, оно больше 10 и меньше 100. То есть $$10 \le x \le 99$$. Заменим "x" на наше выражение, получим $$10 \le \frac{13k}{101} \le 99$$. Умножим все части на 101, получим $$1010 \le 13k \le 9999$$. Разделим все части на 13, получим $$77.69 \le k \le 769.15$$. Значит "k" может быть от 78 до 769. Еще мы знаем, что число "x" делится на 4. Значит, $$\frac{13k}{101}$$ делится на 4, то есть $$13k$$ делится на $$4 * 101 = 404$$. Чтобы $$13k$$ делилось на 404, число "k" должно делиться на 404, то есть $$k = 404 * n$$, где "n" какое-то целое число. Подставим это в наши границы для "k", получим $$78 \le 404n \le 769$$. Разделим все части на 404, получим $$0.19 \le n \le 1.9$$. Значит "n" может быть только 1. Получаем, что $$k = 404 * 1 = 404$$. Теперь найдем число "x", которое написала Кристина: $$x = \frac{13 * 404}{101} = \frac{5252}{101} = 52$$. Проверим, что число 52 делится на 4 и число 5252 делится на 13. Все верно! Значит, Кристина написала число 52.