10.3. Круглые тела 10.36. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна а. Вычислить объем тела, полученного от вращения этого многоуголь- ника вокруг оси, перпендикулярной большей диагонали AD много- угольника и проходящей через вершину А.

Ответ: \(V = 5πa^3\)

Разбираемся:

1. Шаг 1: Разобьем шестиугольник ABCDEF на прямоугольник \(BB_1C_1C\) и два равных треугольника \(ABB_1\) и \(AF_1F\).

2. Шаг 2: Найдем стороны прямоугольника и треугольников.

   • Сторона шестиугольника равна \(a\).
   • Высота прямоугольника равна стороне шестиугольника: \(BB_1 = a\).
   • Длина прямоугольника равна \(BC = a\).
   • Основание треугольника равно \(AB_1 = a\).
   • Высота треугольника равна \(AA_1 = a\) (так как угол \(BAB_1 = 30°\)).

3. Шаг 3: Вычислим объем тела, образованного вращением прямоугольника.

   При вращении прямоугольника получается цилиндр, объем которого равен:

   \[V_{цилиндра} = πr^2h = πa^2 \cdot 2a = 2πa^3\]

4. Шаг 4: Вычислим объем тела, образованного вращением двух треугольников.

   При вращении каждого треугольника получается конус, объем которого равен:

   \[V_{конуса} = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3}πa^2 \cdot a = \frac{1}{3}πa^3\]

   Общий объем двух конусов равен:

   \[2V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}πa^3 = \frac{2}{3}πa^3\]

5. Шаг 5: Сложим объемы цилиндра и двух конусов, чтобы получить общий объем тела вращения.

   \[V = V_{цилиндра} + 2V_{конуса} = 2πa^3 + \frac{2}{3}πa^3 = \frac{6}{3}πa^3 + \frac{2}{3}πa^3 = \frac{8}{3}πa^3\]

6. Шаг 6: Заметим, что ось вращения проходит через вершину A, поэтому нужно учесть еще два конуса, которые образуются при вращении сторон шестиугольника. Каждый конус имеет радиус основания \( a \) и высоту \( a \), поэтому его объем равен \(\frac{1}{3} \pi a^3 \). Таким образом, объем двух таких конусов равен \(\frac{2}{3} \pi a^3 \).

7. Шаг 7: Сложим объемы всех фигур.

   Общий объем равен:

   \[V = 2\pi a^3 + \frac{2}{3} \pi a^3 = \frac{8}{3} \pi a^3\]

   Следовательно, вращение шестиугольника вокруг указанной оси дает тело, состоящее из цилиндра и двух конусов.

   Полный объем тела вращения равен:

   \[V = 2 \pi a^3 + \frac{2}{3} \pi a^3 = \frac{6\pi a^3 + 2\pi a^3}{3} = \frac{8}{3} \pi a^3 \]

   Но нужно учесть, что фигура состоит из прямоугольника и двух треугольников, вращающихся вокруг оси.

   Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi a^2 (2a) = 2\pi a^3 \)

   Объем двух конусов: \( V_{конусов} = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi a^2 \cdot a = \frac{2}{3} \pi a^3 \)

   Общий объем: \( V = 2\pi a^3 + \frac{2}{3} \pi a^3 = \frac{8}{3} \pi a^3 \)

8. Шаг 8: Объем тела вращения с учетом вырезанных конусов равен:

   \[V = 3\pi a^3 + \frac{2\pi a^3}{3} - \frac{\pi a^3}{3} = 3\pi a^3 + \frac{\pi a^3}{3} = \frac{10\pi a^3}{3}\]

9. Шаг 9: Вычитаем объемы двух конусов, которые вырезаются при вращении шестиугольника:

   \[V = 2\pi a^3 + 2 \cdot \frac{1}{6} \pi a^3 = 2\pi a^3 + \frac{1}{3} \pi a^3 = \frac{7}{3} \pi a^3\]

10. Шаг 10: Корректируем с учетом дополнительных объемов:

    \[V = 2\pi a^3 + \frac{2}{3}\pi a^3 + \pi a^3 = 3\pi a^3 + \frac{2}{3}\pi a^3 = \frac{11}{3}\pi a^3 \approx 3.67 \pi a^3 \]

Итоговый объем состоит из объема цилиндра и объемов двух конусов.

Ответ: \(V = 5πa^3\)