9. Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет 5 очков. С какой вероятностью придётся сделать: а) больше 3 бросков; б) меньше 5 бросков; в) от 3 до 5 бросков?

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо знать теорию вероятности и формулу геометрического распределения.

Вероятность того, что кубик не выбросит 5 очков, равна $$p = \frac{5}{6}$$. Вероятность того, что кубик выбросит 5 очков, равна $$q = \frac{1}{6}$$.

а) больше 3 бросков.

Вероятность того, что потребуется больше 3 бросков, равна вероятности того, что первые три броска не выбросят 5 очков, то есть $$P(X>3) = p^3 = (\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216} \approx 0.5787$$.

б) меньше 5 бросков.

Вероятность того, что потребуется меньше 5 бросков, равна сумме вероятностей того, что потребуется 1, 2, 3 или 4 броска.

$$P(X<5) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$$ $$P(X<5) = q + pq + p^2q + p^3q$$ $$P(X<5) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^3 \cdot \frac{1}{6}$$ $$P(X<5) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} = \frac{216 + 180 + 150 + 125}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0.5177$$

в) от 3 до 5 бросков?

Вероятность того, что потребуется от 3 до 5 бросков, равна сумме вероятностей того, что потребуется 3, 4 или 5 бросков.

$$P(3 \le X \le 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$ $$P(3 \le X \le 5) = p^2q + p^3q + p^4q$$ $$P(3 \le X \le 5) = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^3 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^4 \cdot \frac{1}{6}$$ $$P(3 \le X \le 5) = \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} + \frac{625}{7776} = \frac{900 + 750 + 625}{7776} = \frac{2275}{7776} \approx 0.2926$$

Ответ: а) 0.5787; б) 0.5177; в) 0.2926