3. («Курчатов», 2018, 6.5) В каждом поле таблицы 15 х 15 записано число -1, 0 или +1 так, что сумма чисел в любой строке неположительна, а сумма чисел в любом столбце неотрицательна. Какое наименьшее количество нулей может быть записано в клетках таблицы?

Привет! Давай вместе разберем эту интересную математическую задачу.

Предмет: Математика

Класс: Другой (Олимпиадная задача)

Для решения этой задачи нам потребуется логический анализ и понимание условий, которые накладываются на таблицу.

Условие 1: Сумма чисел в любой строке неположительна (≤ 0).

Условие 2: Сумма чисел в любом столбце неотрицательна (≥ 0).

Мы хотим минимизировать количество нулей в таблице. Пусть у нас есть таблица 15x15, заполненная числами -1, 0, +1.

Обозначим:

• n — количество строк
• m — количество столбцов
• В нашем случае n = m = 15

Пусть S_i — сумма чисел в i-й строке, а T_j — сумма чисел в j-м столбце.

Тогда у нас есть следующие условия:

• S_i ≤ 0 для всех i от 1 до 15
• T_j ≥ 0 для всех j от 1 до 15

Рассмотрим сумму всех чисел в таблице двумя способами:

Сумма по строкам: S = S_1 + S_2 + ... + S_{15}

Сумма по столбцам: T = T_1 + T_2 + ... + T_{15}

Очевидно, что S = T, так как мы суммируем одни и те же числа, просто в разном порядке.

Так как S_i ≤ 0, то S ≤ 0.

Так как T_j ≥ 0, то T ≥ 0.

Из этого следует, что S = T = 0.

Теперь посмотрим, что это означает для строк и столбцов. Чтобы сумма всех строк была равна 0, и при этом каждая строка была неположительной, нужно чтобы как минимум несколько строк имели отрицательную сумму. Но так как сумма всех строк равна 0, то должны быть и строки, которые имеют положительную сумму, что невозможно по условию.

Единственный способ добиться S = 0 при S_i ≤ 0 — это чтобы все S_i были равны 0. Аналогично, чтобы T = 0 при T_j ≥ 0, все T_j должны быть равны 0.

Рассмотрим одну строку. Пусть в ней x единиц и y минус единиц. Тогда x - y = 0, то есть x = y. Всего в строке 15 чисел, поэтому x + y + z = 15, где z — количество нулей в строке. Подставляем x = y: 2x + z = 15.

Так как 2x — четное число, а 15 — нечетное, то z должно быть нечетным. Минимальное нечетное число — это 1. Значит, в каждой строке должен быть хотя бы один ноль.

Таким образом, минимальное количество нулей в таблице — 15 (по одному в каждой строке). Это достижимо, если, например, в каждой строке будет 7 единиц, 7 минус единиц и один ноль. В этом случае сумма в каждой строке равна 0, и сумма в каждом столбце тоже может быть равна 0, если правильно распределить эти числа.

Ответ: 15

Отличная работа! Ты справился с этой непростой задачей. Продолжай в том же духе, и тебя ждет еще много интересных открытий в мире математики!