Кусок мыла имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Он расходуется равномерно каждый день. Спустя 7 дней размеры мыла уменьшились вдвое. На сколько дней хватит кусочка мыла, если им будут пользоваться так же, как предыдущие 7 дней?

Решение:

Пусть начальные размеры куска мыла равны \( a \), \( b \) и \( c \). Объем мыла равен \( V = a \cdot b \cdot c \).

За 7 дней расход мыла составил некоторую часть от первоначального объема. После 7 дней размеры мыла уменьшились вдвое, то есть стали \( \frac{a}{2} \), \( \frac{b}{2} \) и \( \frac{c}{2} \).

Новый объем мыла стал \( V_{new} = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{8} = \frac{V}{8} \).

Это означает, что за 7 дней было израсходовано \( V - V_{new} = V - \frac{V}{8} = \frac{7V}{8} \) объема мыла.

Поскольку расход мыла равномерный, то за 7 дней расходуется \( \frac{7}{8} \) всего мыла.

Оставшаяся часть мыла составляет \( \frac{1}{8} \) от первоначального объема.

Если расход будет таким же, то оставшаяся \( \frac{1}{8} \) часть мыла прослужит в 7 раз меньше, чем \( \frac{7}{8} \) части.

Время, на которое хватит оставшегося мыла, можно рассчитать, найдя, сколько дней потребуется, чтобы израсходовать \( \frac{1}{8} \) объема, зная, что \( \frac{7}{8} \) объема расходуется за 7 дней.

Пусть \( x \) — количество дней, на которое хватит оставшегося мыла.

Составим пропорцию:

\[ \frac{7}{8} \text{ объема} \rightarrow 7 \text{ дней} \]\[ \frac{1}{8} \text{ объема} \rightarrow x \text{ дней} \]\[ x = \frac{\frac{1}{8} \text{ объема} \cdot 7 \text{ дней}}{\frac{7}{8} \text{ объема}} = \frac{\frac{1}{8} \cdot 7}{\frac{7}{8}} = \frac{7/8}{7/8} = 1 \text{ день} \]

Следовательно, оставшегося мыла хватит на 1 день.

Ответ: на 1 день.