Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Решение:

Кузнечик начинает движение из точки 0. Каждый прыжок он перемещается на 1 единицу вправо или влево.

Пусть \(n\) — количество прыжков вправо, а \(m\) — количество прыжков влево. Общее количество прыжков равно 8, поэтому \(n + m = 8\).

Конечная координата кузнечика будет равна \(n - m\).

Подставим \(m = 8 - n\) в выражение для конечной координаты:

Конечная координата = \(n - (8 - n) = n - 8 + n = 2n - 8\).

Теперь найдем возможные значения \(n\). Так как \(n\) — это количество прыжков вправо, оно может принимать значения от 0 до 8 (включительно).

• Если \(n=0\), то \(m=8\). Конечная координата = \(2(0) - 8 = -8\).
• Если \(n=1\), то \(m=7\). Конечная координата = \(2(1) - 8 = -6\).
• Если \(n=2\), то \(m=6\). Конечная координата = \(2(2) - 8 = -4\).
• Если \(n=3\), то \(m=5\). Конечная координата = \(2(3) - 8 = -2\).
• Если \(n=4\), то \(m=4\). Конечная координата = \(2(4) - 8 = 0\).
• Если \(n=5\), то \(m=3\). Конечная координата = \(2(5) - 8 = 2\).
• Если \(n=6\), то \(m=2\). Конечная координата = \(2(6) - 8 = 4\).
• Если \(n=7\), то \(m=1\). Конечная координата = \(2(7) - 8 = 6\).
• Если \(n=8\), то \(m=0\). Конечная координата = \(2(8) - 8 = 8\).

Таким образом, возможные конечные координаты кузнечика: -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8. Это все чётные числа в диапазоне от -8 до 8.

Количество таких точек равно 9.

Ответ: 9.